微分関数表記
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y=f(x,t)=g(τ) で表されるべき関係を以下に分析する:
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Ch.1【1変数関数】
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§1〖変数〗
まず仮に、x を何らかの物理変数とする。
数学的には要は変数である。
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§2〖関数〗
一般に、1 変数関数 f は f(x) と表記される。
定数 a を代入した値を f(a) と書くため、
関数表記と代入表記が表記だけでは区別できない。
そこで、1 変数であることを f:x と表記しよう。
さらに定義域が X 、値域 Y と関数値 y を合わせて、
f:X→Y:x→y と表記しよう。
この x は関数 f の束縛変数と呼ばれ、
変数の一種ではあるが、未使用の文字に書き換えても同じ関数...
例示1、f:x=f:a=f:p
束縛変数以外の変数を自由変数と呼ばれる。
以後、従来表記に対し、この表記を厳密表記と呼ぶ。
例示2、一般的にf(x)=2x と書く場合、
f:R:x=(2x):R:x=2x:R:x と厳密に表記できる。
f:x=2x:x と略すが、
f:p=2p:p と書いても
f:x=2p:p と書いても同じである。
2x だけなら x を不定元とする多項式に見えるが、
2x:x で x を変数とする関数と書き分けできると理解して良い。
厳密表記では、定数関数と定数を区別する。
例示3
値が2の定数: 2
値が2の定数関数: 2:x=2:p
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§3〖関数に対する定数の代入〗
f:x の束縛変数に対し、
具体的な定数 3 で置換することを f:x.3 と書こう。
f:x.3 では x が 3 に置換される。
この置換が一般に言う代入になる。
「.」を代入演算子と呼ぶ。
例示1、2x:x.3=2×3=6 である。
例示2、a を定数と決め付けると、
2x:x.a=2a になる。
関数に定数を代入したら、定数になる。
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§4〖関数に対する変数の代入〗
前節の濫用として、
f:x の束縛変数に対し、
具体的な変数 v で置換することを f:x.v と書こう。
例示1、2x:x.v=2v である。
関数に変数を代入したら、変数になる。
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§5〖関数に対する関数の代入〗
更なる濫用として、
f:x の束縛変数 x に対し、
具体的な関数 g:y で置換することを f:x.(g:y)と書こう。
例示1、
2x:x.(g:y)=2(g:p)=(2g):p=2g:p である。
例示2、具体に、
2x:x.(3y:y)=2(3y:y)=6y:y
そこで、関数に関数を代入した結果を関数と見なす。
一般的に、関数に関数を代入して得られる関数を合成関数と呼...
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§6〖変数の関数化〗
vを変数とすると、2v は変数である。
これらは、関数となる v:v と 2v:v とは厳密に区別される。
その一方で、関数 v:v は変数 v の束縛変数化と見なせる。
同様に、2v:v は変数 2v に対し、v を束縛変数化した関数と見...
2v:2v も同様に解釈でき、2v:2v=x:x=v:v である。
また、関数 2v:v に対し、定数 u を代入した結果は、
2v:v.u=2u であるため、
関数 2v:v は自由変数 2u と u の関係を表す関数とも見なせる。
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§7〖定数の関数化〗
定数が変数の特別な形態であるため、変数の関数化も自ずと定...
定数 2 に対し、2:x は x の値に依らず定数値 2 を取る定数値...
関数であるため、2:x=2:y=2:p と束縛変数の表記は任意であ...
ただ、2=2:x の真偽に関する議論は保留とする。
左辺が関数ではないため、まず関数同士の同値関係の範疇では...
次に左辺を0変数の関数と見なしても、それは次の多変数関数の...
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Ch.2【多変数関数】
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§1〖関数〗
一般に、2 変数関数 f は f(x,y) と表記される。
定義域を x∈X、y∈Y、値 z と値域 Z の場合の
厳密表記を f:X×Y→Z:(x,y)→z と表そう。
定義域と値域と値が気にならない場合は、f:(x,y)と略す。
例1 f:(x,y)=(2x+3y):(x,y)
束縛変数の数が自然数個の多変数関数も同様に表せる。
例2 f:(x,y,z)=(2x+3y+4z):(x,y,z)
定数を束縛変数 0 個の関数と見なすこともできる。
例3 f:()=2:()
確認、2:() と 2:(x) は異なる関数。
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§2〖ベクトル値束縛変数〗
多変数関数の複数の束縛変数を1組の束縛変数と見なせる。
その束縛変数の組をベクトル値と呼び、(x,y) のように書こう。
今までの引数列もベクトル値と見なす。
1変数では特例として括弧を省けるものとする。
v=(x,y) と置くと、
f:(x,y)=f:v と書ける。
v=(x,y)、c=(a,b) と置くと、
f:(x,y).(a,b)=f:(x,y).c=f:v.c=f:v.(a,b) と書ける。
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§3〖ベクトル値関数〗
ベクトル値を生成する関数も考えられる。
f:x、g:y について、h:(x,y)=(f:x, g:y) と定義できる。
例 h:(x,y)=(f:x, g:y)=(2x:x, 3y:y) のとき、
h:(x.y).(4,5)=(2x:x, 3y:y).(4,5) =(2×4, 3×5)
注意:(f:x, g:y) は h:(x,y) と書けるが、
(f:x, g:y)≠(f,g):(x,y) とする。
対して、(f,g):(x,y)=(f:(p,q).(x,y), g(r,s).(x,y)):(x,y)...
(f,g):(x,y) は f と g が共に (x,y) に関する2変数関数を表...
(F:x, G:y) では F と G がそれぞれ x と y に関する1変数関...
f:(x,y)≠F(x) である。
ただ、(f:x, g:y)=(f:p, g:q)=(f:p.x, g:q.y):(x,y) と書く...
そのため、h:(x,y)=(f:x, g:y)=(f:p.x, g:q.y):(x,y) と書...
z=(x,y)と定義すると、h:z=h:(x,y) と書ける。
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§2〖多変数関数への定数の代入〗
1 変数関数と同様、定数を代入すると定数になる。
例1 (2x+3y).(4,5)=2×4+3×5=23
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§3〖多変数関数への変数の代入〗
1 変数関数と同様、変数を代入すると変数になる。
例1 (2x+3y).(A,B)=2A+3B
なお、一部の束縛変数に定数を代入しても、
1つでも変数が含まれば関数値は変数になる。
例2 (2x+3y).(A,5)=2A+3×5=2A+15
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§4〖多変数関数への関数の代入〗
1 変数関数と同様、関数を代入すると関数になる。
例1 (2x+3y).(4u:u,5v:v)
=2(4u:u)+3(5v:v)
=8u:u+15v:v
=(8u+15v):(u,v)
=(8x+15y):(x,y)
なお、一部の束縛変数に定数を代入しても、
1つでも関数が含まれば関数値は関数になる。
例2 (2x+3y).(4u:u,5)
=2(4u:u)+3×5
=8u:u+15
=(8u+15):(u)
=(8x+15):(x)
注意、代入する関数の束縛変数を揃えて書いても、
関数の束縛変数の任意性により、異なる変数と見なす。
例3 (2x+3y).(4w:w,5w:w)=(2x+3y).(4u:u,5v:v)
そこで、共通の束縛変数を表すのに、
多関数値関数を (4w, 5w):w のように表す。
例4 (2x+3y).((4w, 5w):w)
=(2(4w)+3(5w)):w
=(8w+15w):w
=23w:w
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Ch.3 【微分】
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§1〖1変数関数の微分係数〗
一般に、1変数関数 f(x)の x=A における微分係数は
f'(A)= lim_{o→0} {f(A+o)−g(A)}/o と定義される。
他にも f'(A)= ∂f(A)/∂x = ∂f(x)/∂x|_{x=A} と表記される。
A が定数であるとき、f'(A) は何者になるのか。
結論から言うと、f'(A)は存在すれば定数になる。
o は lim の束縛変数である。
f(A+o) は関数への変数の代入で変数となる。
f(A)は関数への定数の代入で定数となる。
{f(A+o)−g(A)}/o は o を含むために変数になるが、
lim の計算結果として o が消えてなくなり、定数と化す。
以上を踏まえて、微分係数の定義を厳密表記に書き換えると、
f:x の点 A における微分係数は、
f'(A)=lim_{o→0} {f:x.(A+o)−f:x.A}/o
既存の微分表記も情報が足りないため、
便宜的に ∇:(g:n, m).(f:x, A) と表そう。
∇:(g:n, m) は 2 変数関数となるが、
第1束縛変数には1変数関数を取る。
束縛した関数が代入される定義となっていて、
定数を代入すれば結果は定数値になる。
微分係数の定義式は以下に表現できる。
∇:(g:n, m)
=(lim_{o→0} {g:n.(m+o)−g:n.m}/o):(g:n, m)
例示1、
∇:(g:n, m).(x², 3)
=(lim_{o→0} {g:n.(m+o)−g:n.m}/o):(g:n, m).(x², 3)
= lim_{o→0} {x².(3+o)−x².3}/o
= lim_{o→0} {(3+o)²−3²}/o
= lim_{o→0} {3²+6o+o²−3²}/o
= lim_{o→0} (6+o)
= 6
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§2〖1変数関数の常微分(=導関数)〗
一般に、1変数関数 f(x) の常微分は
f'(x) = lim_{o→0} {f(x+o)−f(x)}/o と定義される。
常微分は導関数とも呼ばれる。
微分係数との違いは、定数を動かして変数としている点である。
その結果、常微分の結果は関数となる。
厳密表記では、まず定数 A を自由変数 V に変えた表現が考え...
すなわち、f:x の常微分を ∇:(g:n, p).(f.x, V) と表す。
この表記では、結果に V が残って変数になる。
区別のため、これを便宜的に変数常微分または導変数と呼ぶ。
例示1、
∇:(g:n, p).(x², V)
=(lip_{o→0} {g:n.(p+o)−g:n.p}/o):(g:n, p).(x², V)
= lip_{o→0} {x².(V+o)−x².V}/o
= lip_{o→0} {(V+o)²−V²}/o
= lip_{o→0} {V²+2Vo+o²−V²}/o
= lip_{o→0} (2V+o)
= 2V
次に、定数 A を関数 v:v に変えた表現も考えられる。
すなわち、f:x の常微分を ∇:(g:n, p).(f.x, v:v) と表す。
この表記では、結果に v:v が残って関数になる。
区別のため、これを便宜的に関数常微分または導関数と呼ぶ。
例示2、
∇:(g:n, p).(x², v:v)
=(lip_{o→0} {g:n.(p+o)−g:n.p}/o):(g:n, p).(x², v:v)
= lip_{o→0} {x².(v:v+o)−x².(v:v)}/o
= lip_{o→0} {(v:v+o)²−(v:v)²}/o
= lip_{o→0} {(v:v)²+2(v:v)o+o²−(v:v)²}/o
= lip_{o→0} (2v:v+o)
= 2v:v
= 2x:x
通常表記では変数と関数を区別せずに表記するため、
厳密表記では2通りの表現に分かれる。
また、通常では導関数を関数と見なすため、
以後では断らない限り関数常微分で考える。
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§3〖2変数関数の偏微分係数〗
一般に、2変数関数 f(x,y) の x=A、y=B における偏微分係...
以下の通りに x と y の2つの方向に関して別々に定義される。
f'_x(A,B) = lim_{o→0} {f(A+o,B)−f(A,B)}/o
f'_y(A,B) = lim_{o→0} {f(A,B+o)−f(A,B)}/o
偏微分関数に関して、以下の捉え方ができる。
////////////////////////////////
¶1〔微分対象外の変数を定数と見なす〕
f'_x と f'_y の違いは f(A+o,B) と f(A,B+o) の違いとなる。
この場合、x と y は o を加える束縛変数を表す。
逆に、f'_x は「 x 以外の束縛変数を定数と見なして微分する...
この解釈に忠実に厳密表記に書くと、
x 以外の束縛変数を定数と見なすというのは、1変数関数化であ...
定数と見なすというものの、あとで束縛変数に戻すので、
厳密表記で区別される変数と見なせる。
すなわち、
f'_x(A,B) = lim_{o→0} {f(A+o,B)−f(A,B)}/o
は
∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q))
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i:i,j)].(v+o)−[g:(m,n).(i:i,j)]....
しかし、これを単純に ∂:(g:(p,q),s,(a,b)).(f:(x,y),x,(3,4)...
f:(x,y) は関数表記として完結していて、
f:(x,y)=f:(u,v)=f:(y,x) のように束縛変数は任意である。
(f:(x,y),x,(3,4))と書いても、外部から特定の束縛変数を参照...
そのため、先に自由関数と自由変数を代入して1変数関数に変...
後で再び 2 変数関数に戻してから、定数を代入する手順に分解...
f:(x,y).(i:i,j)=(f:(x,y).(i,j)):i で 2 変数関数 f:(x,y) ...
この際、i は :i の指定により束縛変数となり、束縛指示無し...
f:(x,y).(i:i,j):i.(v+o) と f:(x,y).(i:i,j):i.(v) は v や...
:[(i:i,j).v] は束縛表記であり、束縛すべき(v,j)を (i:i,j) ...
結果は (i:i,j).v=(i,j):i.v=(v,j)
.(p,q) は代入による変数化であり、
結果的に :[g:(m,n), (i:i,j), (p,q)] にある (p,q) で再束縛...
単なる名前の整理と思って良い。
例:
∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l)...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i:i,j)].(v+o)−[g:(m,n).(i:i,j)]....
={lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).(k:k,l)].(v+o)−[x...
={lim_{o→0} {(k:k)²l³.(v+o)−(k:k)²l³...
={lim_{o→0} {k²l³:k.(v+o)−k²l³:k.v}...
={lim_{o→0} {(v+o)²l³−v²l³}/o}:(v,l...
={lim_{o→0} {(v²+2vo+o²−v²)l³}/o}:...
={lim_{o→0} (2v+o)l³}:(v,l).(4,5)
=2vl³:(v,l).(4,5)
=2×4×5³=2³×5³
=1000
対して、
f'_y(A,B) = lim_{o→0} {f(A,B+o)−f(A,B)}/o
は
∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q))
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j:j)].(v+o)−[g:(m,n).(i,j:j)]....
例:
∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(k,l:l)...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j:j)].(v+o)−[g:(m,n).(i,j:j)]....
={lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).(k,l:l)].(v+o)−[x...
={lim_{o→0} {k²(l:l)³.(v+o)−k²(l:l)³...
={lim_{o→0} {k²l³:l.(v+o)−k²l³:l.v}...
={lim_{o→0} {k²(v+o)³−k²v³}/o}:(k,v...
={lim_{o→0} {k²(v³+3v²o+2vo²+o...
={lim_{o→0} {k²(3v²+2vo+o²)}/o}:(k,v).(...
=3k²v²:(k,v).(4,5)
=3×4²×5²
=1200
ここで、2つの偏微分係数の第2束縛が異なるため、統一した記...
f'_x 〜 ∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q))
f'_y 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q))
そこで、(i,j):u として u∈{i,j}と定義し、これを束縛子と呼...
束縛子を使えば、
偏微分演算子を∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)) と統一的に記述...
f'_x(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)).(f(x,y), ...
f'_y(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)).(f(x,y), ...
と書ける。
具体的な定義は
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q))
={lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v+o)−[g:(m,n).((i,j):...
例:
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l)...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v+o)−[g:(m,n).((i,j):...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j)]:s.(v+o)−[g:(m,n).(i,j)]:s....
={lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).((k,l):k)].(v+o)−[x&...
={lim_{o→0} {k²l³:k.(v+o)−k²l³:k.v}...
=…
=1000
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l)...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v+o)−[g:(m,n).((i,j):...
={lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).((k,l):l)].(v+o)−[x&...
={lim_{o→0} {k²l³:l.(v+o)−k²l³:l.v}...
=…
=1200
////////////////////////////////
¶2〔偏微分の違いを方向の違いと捉える〕
f'_x と f'_y の違いは f(A+o,B) と f(A,B+o) の違いである。
f(A+o,B)=f((A,B)+(o,0))、
f(A,B+o)=f((A,B)+(0,0))と見れば、
偏微分の違いは加える微小量(o,0)と(0,o)の違いとなる。
これを偏微分演算子に反映すると、
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)) と統一的に記述できる。
具体的な定義は、
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q))
={lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(...
それぞれの対応は、
f'_x(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (1...
f'_y(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (0...
例
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(1,0),(4,...
={lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(...
={lim_{o→0} {x²y³:(x,y).((u,v)+ o(1,0))−x²...
={lim_{o→0} {x²y³:(x,y).(u+o,v)−x²y³...
={lim_{o→0} {(u+o)²v³−u²v³}/o}:(u,v...
={lim_{o→0} {(u²+2uo+o²−u²)v³}/o}:...
={lim_{o→0} {(2u+o)v³}/o}:(u,v).(4,5)
=2uv³:(u,v).(4,5)
=2×4×5³
=1000
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(0,1),(4,...
={lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(...
={lim_{o→0} {x²y³:(x,y).((u,v)+ o(0,1))−x²...
={lim_{o→0} {x²y³:(x,y).(u,v+o)−x²y³...
={lim_{o→0} {u²(v+o)³−u²v³}/o}:(u,v...
={lim_{o→0} {u²(v³+3v²o+3vo²+o...
={lim_{o→0} {u²(3v²+3vo+o²)}/o}:(u,v).(...
=3u²v²:(u,v).(4,5)
=3×4²×5²
=1200
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)) の (i,j) に対する代入に関して、...
一般に、w=(cosθ,sinθ)を代入すると、l方向への方向微分とな...
////////////////////////////////
¶3〔偏微分の違いを勾配の成分違いと捉える〕
一般に、2変数関数について、
両方の偏微分からなるベクトルを勾配と定義する。
定義より、偏微分は勾配の成分となる。
∇f(x,y)=[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]
f'_x(x,y)=[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]・[1,0]=∇f(x,y)・[1,0]...
f'_y(x,y)=[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]・[0,1]=∇f(x,y)・[0,1]...
厳密表記では
∇:(g:(m,n), (p,q))
=[∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(g:(m,n), (1,0), (p,q)), ∂:(...
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f:(x,y), (1,0), (A,B))=∇:(g:(...
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f:(x,y), (0,1), (A,B))=∇:(g:(...
決まった2方向の偏微分となるので、勾配∇自体の束縛には方向...
この勾配が、1変数関数の常微分に相当する。
§4〖分数形微分表記の分母が表す情報〗
一般に、f(x,y) の x に対する偏微分を ∂f(x,y)/∂x と書く。
以下に、偏微分演算子 ∂/∂x の各厳密表記における解釈を考え...
////////////////////////////////
¶1〔微分対象外の変数を定数と見なす〕
(∂/∂x)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(f:(x,y), (i,...
(∂/∂y)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(f:(x,y), (i,...
多変数関数を1変数関数に変換する考え方になるので、
∂/∂x で残す唯一の変数を指定していることになる。
f(x,y) は関数と束縛変数を指定し、結果も関数で同じ束縛変数...
f(4,5) は関数を指定するが、束縛変数の個数が形から分かるが...
∂/∂x は関数の束縛変数を名指して参照していることになる。
ただ、束縛変数の値には参照せず、メタ的に参照する束縛変数...
////////////////////////////////
¶2〔偏微分の違いを向きの違いと捉える〕
(∂/∂x)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (1,0),...
(∂/∂y)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (0,1),...
/////////////////////////////////////////////////////////...
/////////////////////////////////////////////////////////...
Ch.3 【微分表記の情報量】
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§1 演算子形
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終了行:
/作業メモ
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y=f(x,t)=g(τ) で表されるべき関係を以下に分析する:
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Ch.1【1変数関数】
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§1〖変数〗
まず仮に、x を何らかの物理変数とする。
数学的には要は変数である。
/////////////////////////////////////////////////////////...
§2〖関数〗
一般に、1 変数関数 f は f(x) と表記される。
定数 a を代入した値を f(a) と書くため、
関数表記と代入表記が表記だけでは区別できない。
そこで、1 変数であることを f:x と表記しよう。
さらに定義域が X 、値域 Y と関数値 y を合わせて、
f:X→Y:x→y と表記しよう。
この x は関数 f の束縛変数と呼ばれ、
変数の一種ではあるが、未使用の文字に書き換えても同じ関数...
例示1、f:x=f:a=f:p
束縛変数以外の変数を自由変数と呼ばれる。
以後、従来表記に対し、この表記を厳密表記と呼ぶ。
例示2、一般的にf(x)=2x と書く場合、
f:R:x=(2x):R:x=2x:R:x と厳密に表記できる。
f:x=2x:x と略すが、
f:p=2p:p と書いても
f:x=2p:p と書いても同じである。
2x だけなら x を不定元とする多項式に見えるが、
2x:x で x を変数とする関数と書き分けできると理解して良い。
厳密表記では、定数関数と定数を区別する。
例示3
値が2の定数: 2
値が2の定数関数: 2:x=2:p
/////////////////////////////////////////////////////////...
§3〖関数に対する定数の代入〗
f:x の束縛変数に対し、
具体的な定数 3 で置換することを f:x.3 と書こう。
f:x.3 では x が 3 に置換される。
この置換が一般に言う代入になる。
「.」を代入演算子と呼ぶ。
例示1、2x:x.3=2×3=6 である。
例示2、a を定数と決め付けると、
2x:x.a=2a になる。
関数に定数を代入したら、定数になる。
/////////////////////////////////////////////////////////...
§4〖関数に対する変数の代入〗
前節の濫用として、
f:x の束縛変数に対し、
具体的な変数 v で置換することを f:x.v と書こう。
例示1、2x:x.v=2v である。
関数に変数を代入したら、変数になる。
/////////////////////////////////////////////////////////...
§5〖関数に対する関数の代入〗
更なる濫用として、
f:x の束縛変数 x に対し、
具体的な関数 g:y で置換することを f:x.(g:y)と書こう。
例示1、
2x:x.(g:y)=2(g:p)=(2g):p=2g:p である。
例示2、具体に、
2x:x.(3y:y)=2(3y:y)=6y:y
そこで、関数に関数を代入した結果を関数と見なす。
一般的に、関数に関数を代入して得られる関数を合成関数と呼...
/////////////////////////////////////////////////////////...
§6〖変数の関数化〗
vを変数とすると、2v は変数である。
これらは、関数となる v:v と 2v:v とは厳密に区別される。
その一方で、関数 v:v は変数 v の束縛変数化と見なせる。
同様に、2v:v は変数 2v に対し、v を束縛変数化した関数と見...
2v:2v も同様に解釈でき、2v:2v=x:x=v:v である。
また、関数 2v:v に対し、定数 u を代入した結果は、
2v:v.u=2u であるため、
関数 2v:v は自由変数 2u と u の関係を表す関数とも見なせる。
/////////////////////////////////////////////////////////...
§7〖定数の関数化〗
定数が変数の特別な形態であるため、変数の関数化も自ずと定...
定数 2 に対し、2:x は x の値に依らず定数値 2 を取る定数値...
関数であるため、2:x=2:y=2:p と束縛変数の表記は任意であ...
ただ、2=2:x の真偽に関する議論は保留とする。
左辺が関数ではないため、まず関数同士の同値関係の範疇では...
次に左辺を0変数の関数と見なしても、それは次の多変数関数の...
/////////////////////////////////////////////////////////...
/////////////////////////////////////////////////////////...
Ch.2【多変数関数】
/////////////////////////////////////////////////////////...
§1〖関数〗
一般に、2 変数関数 f は f(x,y) と表記される。
定義域を x∈X、y∈Y、値 z と値域 Z の場合の
厳密表記を f:X×Y→Z:(x,y)→z と表そう。
定義域と値域と値が気にならない場合は、f:(x,y)と略す。
例1 f:(x,y)=(2x+3y):(x,y)
束縛変数の数が自然数個の多変数関数も同様に表せる。
例2 f:(x,y,z)=(2x+3y+4z):(x,y,z)
定数を束縛変数 0 個の関数と見なすこともできる。
例3 f:()=2:()
確認、2:() と 2:(x) は異なる関数。
/////////////////////////////////////////////////////////...
§2〖ベクトル値束縛変数〗
多変数関数の複数の束縛変数を1組の束縛変数と見なせる。
その束縛変数の組をベクトル値と呼び、(x,y) のように書こう。
今までの引数列もベクトル値と見なす。
1変数では特例として括弧を省けるものとする。
v=(x,y) と置くと、
f:(x,y)=f:v と書ける。
v=(x,y)、c=(a,b) と置くと、
f:(x,y).(a,b)=f:(x,y).c=f:v.c=f:v.(a,b) と書ける。
/////////////////////////////////////////////////////////...
§3〖ベクトル値関数〗
ベクトル値を生成する関数も考えられる。
f:x、g:y について、h:(x,y)=(f:x, g:y) と定義できる。
例 h:(x,y)=(f:x, g:y)=(2x:x, 3y:y) のとき、
h:(x.y).(4,5)=(2x:x, 3y:y).(4,5) =(2×4, 3×5)
注意:(f:x, g:y) は h:(x,y) と書けるが、
(f:x, g:y)≠(f,g):(x,y) とする。
対して、(f,g):(x,y)=(f:(p,q).(x,y), g(r,s).(x,y)):(x,y)...
(f,g):(x,y) は f と g が共に (x,y) に関する2変数関数を表...
(F:x, G:y) では F と G がそれぞれ x と y に関する1変数関...
f:(x,y)≠F(x) である。
ただ、(f:x, g:y)=(f:p, g:q)=(f:p.x, g:q.y):(x,y) と書く...
そのため、h:(x,y)=(f:x, g:y)=(f:p.x, g:q.y):(x,y) と書...
z=(x,y)と定義すると、h:z=h:(x,y) と書ける。
/////////////////////////////////////////////////////////...
§2〖多変数関数への定数の代入〗
1 変数関数と同様、定数を代入すると定数になる。
例1 (2x+3y).(4,5)=2×4+3×5=23
/////////////////////////////////////////////////////////...
§3〖多変数関数への変数の代入〗
1 変数関数と同様、変数を代入すると変数になる。
例1 (2x+3y).(A,B)=2A+3B
なお、一部の束縛変数に定数を代入しても、
1つでも変数が含まれば関数値は変数になる。
例2 (2x+3y).(A,5)=2A+3×5=2A+15
/////////////////////////////////////////////////////////...
§4〖多変数関数への関数の代入〗
1 変数関数と同様、関数を代入すると関数になる。
例1 (2x+3y).(4u:u,5v:v)
=2(4u:u)+3(5v:v)
=8u:u+15v:v
=(8u+15v):(u,v)
=(8x+15y):(x,y)
なお、一部の束縛変数に定数を代入しても、
1つでも関数が含まれば関数値は関数になる。
例2 (2x+3y).(4u:u,5)
=2(4u:u)+3×5
=8u:u+15
=(8u+15):(u)
=(8x+15):(x)
注意、代入する関数の束縛変数を揃えて書いても、
関数の束縛変数の任意性により、異なる変数と見なす。
例3 (2x+3y).(4w:w,5w:w)=(2x+3y).(4u:u,5v:v)
そこで、共通の束縛変数を表すのに、
多関数値関数を (4w, 5w):w のように表す。
例4 (2x+3y).((4w, 5w):w)
=(2(4w)+3(5w)):w
=(8w+15w):w
=23w:w
/////////////////////////////////////////////////////////...
/////////////////////////////////////////////////////////...
Ch.3 【微分】
/////////////////////////////////////////////////////////...
§1〖1変数関数の微分係数〗
一般に、1変数関数 f(x)の x=A における微分係数は
f'(A)= lim_{o→0} {f(A+o)−g(A)}/o と定義される。
他にも f'(A)= ∂f(A)/∂x = ∂f(x)/∂x|_{x=A} と表記される。
A が定数であるとき、f'(A) は何者になるのか。
結論から言うと、f'(A)は存在すれば定数になる。
o は lim の束縛変数である。
f(A+o) は関数への変数の代入で変数となる。
f(A)は関数への定数の代入で定数となる。
{f(A+o)−g(A)}/o は o を含むために変数になるが、
lim の計算結果として o が消えてなくなり、定数と化す。
以上を踏まえて、微分係数の定義を厳密表記に書き換えると、
f:x の点 A における微分係数は、
f'(A)=lim_{o→0} {f:x.(A+o)−f:x.A}/o
既存の微分表記も情報が足りないため、
便宜的に ∇:(g:n, m).(f:x, A) と表そう。
∇:(g:n, m) は 2 変数関数となるが、
第1束縛変数には1変数関数を取る。
束縛した関数が代入される定義となっていて、
定数を代入すれば結果は定数値になる。
微分係数の定義式は以下に表現できる。
∇:(g:n, m)
=(lim_{o→0} {g:n.(m+o)−g:n.m}/o):(g:n, m)
例示1、
∇:(g:n, m).(x², 3)
=(lim_{o→0} {g:n.(m+o)−g:n.m}/o):(g:n, m).(x², 3)
= lim_{o→0} {x².(3+o)−x².3}/o
= lim_{o→0} {(3+o)²−3²}/o
= lim_{o→0} {3²+6o+o²−3²}/o
= lim_{o→0} (6+o)
= 6
/////////////////////////////////////////////////////////...
§2〖1変数関数の常微分(=導関数)〗
一般に、1変数関数 f(x) の常微分は
f'(x) = lim_{o→0} {f(x+o)−f(x)}/o と定義される。
常微分は導関数とも呼ばれる。
微分係数との違いは、定数を動かして変数としている点である。
その結果、常微分の結果は関数となる。
厳密表記では、まず定数 A を自由変数 V に変えた表現が考え...
すなわち、f:x の常微分を ∇:(g:n, p).(f.x, V) と表す。
この表記では、結果に V が残って変数になる。
区別のため、これを便宜的に変数常微分または導変数と呼ぶ。
例示1、
∇:(g:n, p).(x², V)
=(lip_{o→0} {g:n.(p+o)−g:n.p}/o):(g:n, p).(x², V)
= lip_{o→0} {x².(V+o)−x².V}/o
= lip_{o→0} {(V+o)²−V²}/o
= lip_{o→0} {V²+2Vo+o²−V²}/o
= lip_{o→0} (2V+o)
= 2V
次に、定数 A を関数 v:v に変えた表現も考えられる。
すなわち、f:x の常微分を ∇:(g:n, p).(f.x, v:v) と表す。
この表記では、結果に v:v が残って関数になる。
区別のため、これを便宜的に関数常微分または導関数と呼ぶ。
例示2、
∇:(g:n, p).(x², v:v)
=(lip_{o→0} {g:n.(p+o)−g:n.p}/o):(g:n, p).(x², v:v)
= lip_{o→0} {x².(v:v+o)−x².(v:v)}/o
= lip_{o→0} {(v:v+o)²−(v:v)²}/o
= lip_{o→0} {(v:v)²+2(v:v)o+o²−(v:v)²}/o
= lip_{o→0} (2v:v+o)
= 2v:v
= 2x:x
通常表記では変数と関数を区別せずに表記するため、
厳密表記では2通りの表現に分かれる。
また、通常では導関数を関数と見なすため、
以後では断らない限り関数常微分で考える。
/////////////////////////////////////////////////////////...
§3〖2変数関数の偏微分係数〗
一般に、2変数関数 f(x,y) の x=A、y=B における偏微分係...
以下の通りに x と y の2つの方向に関して別々に定義される。
f'_x(A,B) = lim_{o→0} {f(A+o,B)−f(A,B)}/o
f'_y(A,B) = lim_{o→0} {f(A,B+o)−f(A,B)}/o
偏微分関数に関して、以下の捉え方ができる。
////////////////////////////////
¶1〔微分対象外の変数を定数と見なす〕
f'_x と f'_y の違いは f(A+o,B) と f(A,B+o) の違いとなる。
この場合、x と y は o を加える束縛変数を表す。
逆に、f'_x は「 x 以外の束縛変数を定数と見なして微分する...
この解釈に忠実に厳密表記に書くと、
x 以外の束縛変数を定数と見なすというのは、1変数関数化であ...
定数と見なすというものの、あとで束縛変数に戻すので、
厳密表記で区別される変数と見なせる。
すなわち、
f'_x(A,B) = lim_{o→0} {f(A+o,B)−f(A,B)}/o
は
∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q))
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i:i,j)].(v+o)−[g:(m,n).(i:i,j)]....
しかし、これを単純に ∂:(g:(p,q),s,(a,b)).(f:(x,y),x,(3,4)...
f:(x,y) は関数表記として完結していて、
f:(x,y)=f:(u,v)=f:(y,x) のように束縛変数は任意である。
(f:(x,y),x,(3,4))と書いても、外部から特定の束縛変数を参照...
そのため、先に自由関数と自由変数を代入して1変数関数に変...
後で再び 2 変数関数に戻してから、定数を代入する手順に分解...
f:(x,y).(i:i,j)=(f:(x,y).(i,j)):i で 2 変数関数 f:(x,y) ...
この際、i は :i の指定により束縛変数となり、束縛指示無し...
f:(x,y).(i:i,j):i.(v+o) と f:(x,y).(i:i,j):i.(v) は v や...
:[(i:i,j).v] は束縛表記であり、束縛すべき(v,j)を (i:i,j) ...
結果は (i:i,j).v=(i,j):i.v=(v,j)
.(p,q) は代入による変数化であり、
結果的に :[g:(m,n), (i:i,j), (p,q)] にある (p,q) で再束縛...
単なる名前の整理と思って良い。
例:
∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l)...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i:i,j)].(v+o)−[g:(m,n).(i:i,j)]....
={lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).(k:k,l)].(v+o)−[x...
={lim_{o→0} {(k:k)²l³.(v+o)−(k:k)²l³...
={lim_{o→0} {k²l³:k.(v+o)−k²l³:k.v}...
={lim_{o→0} {(v+o)²l³−v²l³}/o}:(v,l...
={lim_{o→0} {(v²+2vo+o²−v²)l³}/o}:...
={lim_{o→0} (2v+o)l³}:(v,l).(4,5)
=2vl³:(v,l).(4,5)
=2×4×5³=2³×5³
=1000
対して、
f'_y(A,B) = lim_{o→0} {f(A,B+o)−f(A,B)}/o
は
∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q))
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j:j)].(v+o)−[g:(m,n).(i,j:j)]....
例:
∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(k,l:l)...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j:j)].(v+o)−[g:(m,n).(i,j:j)]....
={lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).(k,l:l)].(v+o)−[x...
={lim_{o→0} {k²(l:l)³.(v+o)−k²(l:l)³...
={lim_{o→0} {k²l³:l.(v+o)−k²l³:l.v}...
={lim_{o→0} {k²(v+o)³−k²v³}/o}:(k,v...
={lim_{o→0} {k²(v³+3v²o+2vo²+o...
={lim_{o→0} {k²(3v²+2vo+o²)}/o}:(k,v).(...
=3k²v²:(k,v).(4,5)
=3×4²×5²
=1200
ここで、2つの偏微分係数の第2束縛が異なるため、統一した記...
f'_x 〜 ∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q))
f'_y 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q))
そこで、(i,j):u として u∈{i,j}と定義し、これを束縛子と呼...
束縛子を使えば、
偏微分演算子を∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)) と統一的に記述...
f'_x(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)).(f(x,y), ...
f'_y(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)).(f(x,y), ...
と書ける。
具体的な定義は
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q))
={lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v+o)−[g:(m,n).((i,j):...
例:
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l)...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v+o)−[g:(m,n).((i,j):...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j)]:s.(v+o)−[g:(m,n).(i,j)]:s....
={lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).((k,l):k)].(v+o)−[x&...
={lim_{o→0} {k²l³:k.(v+o)−k²l³:k.v}...
=…
=1000
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l)...
={lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v+o)−[g:(m,n).((i,j):...
={lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).((k,l):l)].(v+o)−[x&...
={lim_{o→0} {k²l³:l.(v+o)−k²l³:l.v}...
=…
=1200
////////////////////////////////
¶2〔偏微分の違いを方向の違いと捉える〕
f'_x と f'_y の違いは f(A+o,B) と f(A,B+o) の違いである。
f(A+o,B)=f((A,B)+(o,0))、
f(A,B+o)=f((A,B)+(0,0))と見れば、
偏微分の違いは加える微小量(o,0)と(0,o)の違いとなる。
これを偏微分演算子に反映すると、
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)) と統一的に記述できる。
具体的な定義は、
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q))
={lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(...
それぞれの対応は、
f'_x(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (1...
f'_y(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (0...
例
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(1,0),(4,...
={lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(...
={lim_{o→0} {x²y³:(x,y).((u,v)+ o(1,0))−x²...
={lim_{o→0} {x²y³:(x,y).(u+o,v)−x²y³...
={lim_{o→0} {(u+o)²v³−u²v³}/o}:(u,v...
={lim_{o→0} {(u²+2uo+o²−u²)v³}/o}:...
={lim_{o→0} {(2u+o)v³}/o}:(u,v).(4,5)
=2uv³:(u,v).(4,5)
=2×4×5³
=1000
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(0,1),(4,...
={lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(...
={lim_{o→0} {x²y³:(x,y).((u,v)+ o(0,1))−x²...
={lim_{o→0} {x²y³:(x,y).(u,v+o)−x²y³...
={lim_{o→0} {u²(v+o)³−u²v³}/o}:(u,v...
={lim_{o→0} {u²(v³+3v²o+3vo²+o...
={lim_{o→0} {u²(3v²+3vo+o²)}/o}:(u,v).(...
=3u²v²:(u,v).(4,5)
=3×4²×5²
=1200
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)) の (i,j) に対する代入に関して、...
一般に、w=(cosθ,sinθ)を代入すると、l方向への方向微分とな...
////////////////////////////////
¶3〔偏微分の違いを勾配の成分違いと捉える〕
一般に、2変数関数について、
両方の偏微分からなるベクトルを勾配と定義する。
定義より、偏微分は勾配の成分となる。
∇f(x,y)=[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]
f'_x(x,y)=[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]・[1,0]=∇f(x,y)・[1,0]...
f'_y(x,y)=[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]・[0,1]=∇f(x,y)・[0,1]...
厳密表記では
∇:(g:(m,n), (p,q))
=[∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(g:(m,n), (1,0), (p,q)), ∂:(...
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f:(x,y), (1,0), (A,B))=∇:(g:(...
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f:(x,y), (0,1), (A,B))=∇:(g:(...
決まった2方向の偏微分となるので、勾配∇自体の束縛には方向...
この勾配が、1変数関数の常微分に相当する。
§4〖分数形微分表記の分母が表す情報〗
一般に、f(x,y) の x に対する偏微分を ∂f(x,y)/∂x と書く。
以下に、偏微分演算子 ∂/∂x の各厳密表記における解釈を考え...
////////////////////////////////
¶1〔微分対象外の変数を定数と見なす〕
(∂/∂x)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(f:(x,y), (i,...
(∂/∂y)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(f:(x,y), (i,...
多変数関数を1変数関数に変換する考え方になるので、
∂/∂x で残す唯一の変数を指定していることになる。
f(x,y) は関数と束縛変数を指定し、結果も関数で同じ束縛変数...
f(4,5) は関数を指定するが、束縛変数の個数が形から分かるが...
∂/∂x は関数の束縛変数を名指して参照していることになる。
ただ、束縛変数の値には参照せず、メタ的に参照する束縛変数...
////////////////////////////////
¶2〔偏微分の違いを向きの違いと捉える〕
(∂/∂x)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (1,0),...
(∂/∂y)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (0,1),...
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Ch.3 【微分表記の情報量】
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§1 演算子形
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Apple.png
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PerpPerp.png
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BxC.png
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