微分積分学の基本公式
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* 凌宮読取術:$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\!\!\! f(x) dx = F(x_...
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;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分...
#ceq(e)
$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(...
#ceq(end)
;,これは、歴史的に別々に発展した微分法と区分求積法を繋げ...
((Wikipedia/微分積分学の基本定理 http://ja.wikipedia.or...
;,また、現在のベクトル解析においては、重要な置換積分公式
((勾配の線積分:$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $ \:\nabla F $ ...
((回転の面積分:$$ \int_{S}\! $ \:\nabla \!\vx\! \:F $ ...
((発散の体積分:$$ \int_{V}\! $ \:\nabla $ \sx $ \:F $ ...
が全てこの公式の拡張と言える。
;,問題は、図形と密接に繋がっている公式にも関わらず、図に...
;,微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行う...
;,一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え...
;,これに対し、凌宮数学では、線積分に基づき、積分の解釈を...
;,微分積分の基本公式を1枚の図に纏めて、微積関係を直観的...
|l:*図1: 微積同図の基本|<|h
|&attachref(./Fx微分.png,25%);|*
|l: $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ ...
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* 変数の微分積分 ── 関数でない、もう一種類の微分積分 [#h2...
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 独立変数の微分積分 [#e6e0564b]
;,第1段階では、問題を簡単にするべく、1つの変数$$ x $$か...
;,今の$$ x $$は、他からの影響を一切受けない、自由な変数で...
|&attachref(./x差.png,25%);|
;,''まずは''、$$ x $$軸と軸上に2点$$ x_a $$と$$ x_b $$が...
;,2点によって$$ x_a $ \le $ x $ \le $ x_b $$になる区間$$...
(($$ a::b $$は凌宮数学の閉区間表記である。&br;一般的に...
;,区間$$ x_a::x_b $$の長さは、2点の''差''$$ \Delta x $ =...
|&attachref(./x差分.png,25%);|
;,''つぎに''、区間$$ x_a::x_b $$を$$ N $$分割して、分割点...
;,小さくなるが、$$ \gDl x $$と同様に、区間$$ x_{i-1}::x_i...
((通常は$$ x_i::x_{i+1} $$を$$ \gdl x_i $$と対応させるよ...
;,差分と呼ぶが、$$ x_i $$が数列っぽく、$$ \gdl x_i $$が小...
;,ポイントは、区間を単純に分割しているため、$$ \gdl x_i $...
#ceq(e)
式1: $$ \sum_{i=1}^N \delta x_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
|&attachref(./x微分.png,25%);|
;,''続けて''、分割数$$ N $$を無限に増やしてみる。
;,$$ N $$が$$ \infty $$に近づくため、$$ \gdl x_i $$は$$ 0...
;,この$$ 0 $$に近い微小量という意味を込めて$$ \gdl x_i $$...
(($$\ddd{f}{x}$$のような一般的な微分とは全く別物である...
;,一方で、式1は分割数$$ N $$に無関係に成り立つため、無限...
#ceq(e)
式2: $$ \sum_{i=1}^{\infty} $ dx_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
;,''最後に''、左辺の$$ \sum_{i=1}^{\infty} $ dx_i $$は微...
((「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味であ...
;,今は$$ dx_1 $$の下端が$$ x_a $$、$$ dx_{\infty} $$の上...
$$ \int_{i=1}^{\infty} \!\! dx_i $ = $ \int_{x_0}^{x_\i...
;,区間の端点で表せたため、範囲の指定に使っていた$$ {}_i $...
#ceq(e)
式3: $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
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** 従属変数の微分積分 [#z35d989d]
;,第2段階として、$$ F(x) $$を想定した、従属変数$$ F $$を...
;,従属変数も変数である以上、独立変数$$ x $$と同じように考...
;,以下は、従属変数らしく縦軸で描くが、$$ x $$の纏めも兼ね...
|&attachref(./F差.png,25%);|&attachref(./F差分.png,25%);|...
;,''まずは''、$$ F $$軸と2点$$ F_a $$、$$ F_b $$があれば...
;,''つぎに''、$$ F_a::F_b $$を分割すれば、長さ$$ \gdl F_i...
#ceq(e)
式4:$$ \sum_{i=1}^{N} $ \gdl F_i $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
;,''続けて''、無限に分割すれば、長さ$$ dF_i $$の区間が無...
#ceq(e)
式5:$$ \sum_{i=1}^{\infty} $ dF_i $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
;,''最後に''、$$ \sum_{i=1}^{\infty} dF_i $$
$$ = $ \int_{i=1}^{\infty} \!\!\!\! dF_i $$
$$ = $ \int_{F_0}^{F_\infty} \!\!\!\!\!\! dF_i $$
$$ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$は、全て同じ...
#ceq(e)
式6: $$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
;,纏めると、$$ dx $$や$$ dF $$などの全微分は区間の無限分...
;,微分積分学の基本公式の1つ目の読み方は:
#ceq(e)
$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$: ''細か...
#ceq(d)
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* 「独立変数の微分」と「従属変数の微分」の関係 [#f862cfa5]
;,第3段階として、$$ F $$と$$ x $$の関係を考える。
;,ここに来て初めて2つの変数が出揃うので、横軸$$ x $$、縦...
;,手口はこれまで同様、2点の場合、適当に分割した場合、無...
|&attachref(./Fx差.png,25%);|&attachref(./Fx差分.png,25%)...
;,''まずは''、$$ x $$軸と2点$$ x_a $$と$$ x_b $$、直交す...
;,軸上に2点があれば、長さ$$ \gDl x $$の区間$$ x_a::x_b $...
;,2つの差$$ \gDl x $$と$$ \gDl F $$の関係を無理やり式で...
((一般に、$$ \gDl F $ \neq $ F(\gDl x) $$であることに注...
(($$ x $$も$$ F $$の関係も具体的に分からない場合、$$ \g...
((恒等式も$$ \gDl F $ = $ \gDl F $ - $ \gDl x $ + $ \gD...
#ceq(e)
式7: $$ \gDl F $ = $ \ffd{\gDl F}{\gDl x} $ \gDl x...
#ceq(end)
;,''つぎに''、$$ x_a::x_b $$を分割し、$$ F_i $ = $ F(x_i)...
;,対応する2つの差分$$ \gdl x_i $$と$$ \gdl F_i $$に着目...
#ceq(e)
式8: $$ \gdl F_i $ = $ \ffd{\gdl F_i}{\gdl x_i} $ ...
#ceq(end)
;,''続けて''、$$ x_a::x_b $$を無限に分割する。
;,$$ \gdl x_i $$と$$ \gdl F_i $$が小さくなるだけで何も変...
#ceq(e)
式9: $$ dF_i $ = $ \ddd{F_i}{x_i} $ dx_i $$
#ceq(end)
;,''最後に''、対応していることが分かれば良いので、添字$$ ...
#ceq(e)
式10: $$ dF $ = $ \ddd{F}{x} $ dx $$
#ceq(end)
纏めると、$$ dx $$や$$ dF $$などの全微分の乗算と除算は差...
微分積分学の基本公式の2つ目の読み方は:
#ceq(e)
$$ dF $ = $ \ddd{F}{x} $ dx $$: ''割って掛ければ元の...
#ceq(d)
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* 微分積分の基本公式 [#bbd27140]
;,これまで、「差$$ \gDl $$」→「差分$$ \gdl $$」→「微分$$ ...
;,それぞれで得た式を並べば、区間を小さくしただけで、他は...
|*差 |*差分 ...
|&attachref(./Fx差.png,25%);|&attachref(./Fx差分.png,25%)...
|* |c:*差と和 |< |< ...
|l: |r: |lx: |lx: ...
|*差 |$$ \iro[hi]{\sum} $ \gDl F $$|$$ = $$|$$ \gDl F...
|*差分|$$ \sum_{i=1}^{N} $ \gdl F_i $$|$$ = $$|$$ \gDl F...
|*微分|$$ \sum_{i=1}^{\infty} $ dF_i $$|$$ = $$|$$ \gDl F...
|^ |$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$|$$ = $$|$$ \gDl F...
;,また、微分積分学の基本公式の一般的な説明では「近似誤差...
((例: 物理のかぎしっぽ/物理数学/和と積分の関係(上の話...
((例: 青空学園数学課/数学対話/基礎分野/定積分の定義/微...
が、
;,上記の区間を狭める各過程において、差と和、商と積の式は...
;,これは差分商を上手く設定しているためで、通常の説明で用...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#hb1ec061]
;,これまで、微分積分の基本公式を直観的に理解するため、全...
;,これらの図では、差→差分→微分と変化させながら、基本公式...
;,微分積分の基本公式は、ベクトル解析の分野で大きな影響力...
;,この考え方は、線積分、面積分、体積分の間にある置換積分...
%bodynote
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* 補足: 2種類の微分積分 [#u83c768b]
;,微分積分の直観的理解のため、変数の微分$$ dF $$とその積...
;,$$ dF $$は全微分とも呼ばれ、偏微分など((他に、常微分、...
((EMANの物理学/解析力学/全微分: 偏微分 vs 全微分 vs 常...
((Wikipedia/微分法: 微分係数や導関数と微分 http://ja.w...
((Wikipedia/偏微分/全微分: 全微分と微分 http://ja.wiki...
((ブラックショールズのモデルを導出への道しるべ/微分積...
;,$$ \int_{F_a}^{F_b} dF $$は被積分関数が$$ 1 $$の積分と...
| | |l=: | ...
|*系統名(仮案)|< |*全微分 |*偏微分 ...
|^ |< |*変数の微分 |*関数の微分 ...
|*慣用名 |*略称 | 微分 | 微分 ...
|^ |*1変数| 全微分 | 常微分 ...
|^ |*多変数|^ | 偏微分 ...
|*表記例 |< | $$ dF $$、$$ dx $$| $$ \ddd{F}{...
;,全微分は特定の変数だけの微小量であり、全積分はその逆演...
;,偏微分は関数と変数の関係であり、偏積分はその逆演算とし...
;,また、偏微分は2つの全微分の商とも見なせて、この解釈で...
;,微分積分の基本公式$$ \int_{x_a}^{x_b} $ \ddd{F}{x} $ dx...
;,$$ \int_{x_a}^{x_b} $ \ddd{F}{x} $ dx $$が導関数$$ \ddd...
;,微分積分の基本公式は偏積分と全積分を結ぶ変換公式である...
;,&font(#C00){※ 日本語の「微分」も「全微分」も複数の概念...
((物理のかぎしっぽ/掲示板:「微分」の混用 http://hookta...
&font(#C00){。};
;,&font(#C00){英語でも多少の揺れはあるが、$$ \iro[ak]{dF}...
((芝浦工業大学/.../微分積分学入門: 導関数(derivative,P...
((Simon Fraser University/.../経済学 Multivariable Calc...
((日本語の英語に誤訳が出るほどなので、要注意。))
&font(#C00){。};
;,&font(#C00){漢字を使う中国語でも結構の揺れはあるが、$$ ...
;,&font(#C00){現時点で「全微分」と「偏微分」で微分・積分...
((第1仮案は、「変数の」か「関数の」かで接頭語を付ける...
((第2仮案は、中国語に倣い「微分」と「導関数」に基づく...
&font(#C00){。};
;,&font(#C00){【追記】「全導関数」の用例((西南学院大学/経...
%bodynote
* 補足3:ベクトルとして見た、全微分・偏微分・不完全微分 ...
;,全微分自体をベクトルとして扱う視点で、微分の用語をベク...
;,ここで、具体例は以下の場合について考える:
- 関数$$ F $ = $ F(x(t),y(t)) $$の微分$$ dF $ = $ \ppd{F}...
- ベクトル$$ \:F $$の成分分解$$ \:F $ = $ F_x $ \:e_x $ +...
- 参考に勾配$$ \:\nabla F $$と方向微分係数$$ \;\nabla F $...
| |c: |l-:c: |l.:r: |l...
|*微分 |< |< |< |<...
|*具体例 |*用語 |< |< |<...
|*$$ dF \fracstrut $$| |全微分|完全微分 |...
|*$$ \ppd{F}{x} dx $$| | |不完全微分| ...
|*$$ \ppd{F}{x} $$| |偏微分| | ...
|*$$ \ddd{F}{t} $$|微分 |常微分| |...
|*$$ \:\nabla F $$| |勾配 | | ...
|*$$ \:\nabla F \sx \:n $$| | | | ...
- 【メモ】勾配を全微分係数と呼ぶ例はあったが、用法は要調...
- 【メモ】勾配を全導関数と呼ぶ例はあったが、用法は要調査(...
--【メモ】常微分を全導関数と呼ぶ用法も要調査((http://www....
-
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//;,&attachref(./差.png,40%);
//
//
//- 方法1: 微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し...
//-- 手順1: 2点の差を考える
//-- 手順2: 2点の間を有限に分割し、各分割に対応する差...
//-- 手順3: 2点の間を無限に分割し、同上。
//* 一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分...
//-- 手順4: 関数を考える
//-- 手順5: 手順1〜3を繰り返す
//* 作図
//- 座標
// $$ \iro[md]{x} $$
// $$ \iro[md]{F} $$
// $$ \iro[md]{0} $$
// $$ \iro[md]{x_a} $$
// $$ \iro[md]{x_b} $$
// $$ \iro[md]{F_a} $$
// $$ \iro[md]{F_b} $$
//
//- 差
// $$ \iro[ai]{F} $$
// $$ \iro[ai]{x_0} $$
// $$ \iro[ai]{x_1} $$
// $$ \iro[ai]{x_2} $$
// $$ \iro[ai]{x_3} $$
// $$ \iro[ai]{x_n} $$
// $$ \iro[ai]{x_N} $$
// $$ \iro[ai]{x_\infty} $$
// $$ \iro[ai]{F_0} $$
// $$ \iro[ai]{F_n} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
//- 差分
// $$ \iro[ai]{x_i} $$
// $$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
// $$ \iro[ai]{F_i} $$
// $$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_0} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_0} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_1} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_1} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_2} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_2} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_N} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_N} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_\infty} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_\infty} $$
//
// $$ \iro[ai]{\cdots} $$
// $$ \iro[ak]{\cdots} $$
//
// $$ \iro[ak]{dF} $$
// $$ \iro[ak]{dx} $$
//- 微分
// $$ \iro[ak]{dF_0} $$
// $$ \iro[ak]{dx_0} $$
// $$ \iro[ak]{dF_1} $$
// $$ \iro[ak]{dx_1} $$
// $$ \iro[ak]{dF_i} $$
// $$ \iro[ak]{dx_i} $$
// $$ \iro[ak]{dF_N} $$
// $$ \iro[ak]{dx_N} $$
// $$ \iro[ak]{dF_\infty} $$
// $$ \iro[ak]{dx_\infty} $$
//- グラフ
//;,&attachref(./差分.png,40%);
//;,&attachref(./微分.png,40%);
終了行:
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* 凌宮読取術:$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\!\!\! f(x) dx = F(x_...
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;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分...
#ceq(e)
$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(...
#ceq(end)
;,これは、歴史的に別々に発展した微分法と区分求積法を繋げ...
((Wikipedia/微分積分学の基本定理 http://ja.wikipedia.or...
;,また、現在のベクトル解析においては、重要な置換積分公式
((勾配の線積分:$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $ \:\nabla F $ ...
((回転の面積分:$$ \int_{S}\! $ \:\nabla \!\vx\! \:F $ ...
((発散の体積分:$$ \int_{V}\! $ \:\nabla $ \sx $ \:F $ ...
が全てこの公式の拡張と言える。
;,問題は、図形と密接に繋がっている公式にも関わらず、図に...
;,微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行う...
;,一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え...
;,これに対し、凌宮数学では、線積分に基づき、積分の解釈を...
;,微分積分の基本公式を1枚の図に纏めて、微積関係を直観的...
|l:*図1: 微積同図の基本|<|h
|&attachref(./Fx微分.png,25%);|*
|l: $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ ...
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* 変数の微分積分 ── 関数でない、もう一種類の微分積分 [#h2...
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** 独立変数の微分積分 [#e6e0564b]
;,第1段階では、問題を簡単にするべく、1つの変数$$ x $$か...
;,今の$$ x $$は、他からの影響を一切受けない、自由な変数で...
|&attachref(./x差.png,25%);|
;,''まずは''、$$ x $$軸と軸上に2点$$ x_a $$と$$ x_b $$が...
;,2点によって$$ x_a $ \le $ x $ \le $ x_b $$になる区間$$...
(($$ a::b $$は凌宮数学の閉区間表記である。&br;一般的に...
;,区間$$ x_a::x_b $$の長さは、2点の''差''$$ \Delta x $ =...
|&attachref(./x差分.png,25%);|
;,''つぎに''、区間$$ x_a::x_b $$を$$ N $$分割して、分割点...
;,小さくなるが、$$ \gDl x $$と同様に、区間$$ x_{i-1}::x_i...
((通常は$$ x_i::x_{i+1} $$を$$ \gdl x_i $$と対応させるよ...
;,差分と呼ぶが、$$ x_i $$が数列っぽく、$$ \gdl x_i $$が小...
;,ポイントは、区間を単純に分割しているため、$$ \gdl x_i $...
#ceq(e)
式1: $$ \sum_{i=1}^N \delta x_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
|&attachref(./x微分.png,25%);|
;,''続けて''、分割数$$ N $$を無限に増やしてみる。
;,$$ N $$が$$ \infty $$に近づくため、$$ \gdl x_i $$は$$ 0...
;,この$$ 0 $$に近い微小量という意味を込めて$$ \gdl x_i $$...
(($$\ddd{f}{x}$$のような一般的な微分とは全く別物である...
;,一方で、式1は分割数$$ N $$に無関係に成り立つため、無限...
#ceq(e)
式2: $$ \sum_{i=1}^{\infty} $ dx_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
;,''最後に''、左辺の$$ \sum_{i=1}^{\infty} $ dx_i $$は微...
((「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味であ...
;,今は$$ dx_1 $$の下端が$$ x_a $$、$$ dx_{\infty} $$の上...
$$ \int_{i=1}^{\infty} \!\! dx_i $ = $ \int_{x_0}^{x_\i...
;,区間の端点で表せたため、範囲の指定に使っていた$$ {}_i $...
#ceq(e)
式3: $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
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** 従属変数の微分積分 [#z35d989d]
;,第2段階として、$$ F(x) $$を想定した、従属変数$$ F $$を...
;,従属変数も変数である以上、独立変数$$ x $$と同じように考...
;,以下は、従属変数らしく縦軸で描くが、$$ x $$の纏めも兼ね...
|&attachref(./F差.png,25%);|&attachref(./F差分.png,25%);|...
;,''まずは''、$$ F $$軸と2点$$ F_a $$、$$ F_b $$があれば...
;,''つぎに''、$$ F_a::F_b $$を分割すれば、長さ$$ \gdl F_i...
#ceq(e)
式4:$$ \sum_{i=1}^{N} $ \gdl F_i $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
;,''続けて''、無限に分割すれば、長さ$$ dF_i $$の区間が無...
#ceq(e)
式5:$$ \sum_{i=1}^{\infty} $ dF_i $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
;,''最後に''、$$ \sum_{i=1}^{\infty} dF_i $$
$$ = $ \int_{i=1}^{\infty} \!\!\!\! dF_i $$
$$ = $ \int_{F_0}^{F_\infty} \!\!\!\!\!\! dF_i $$
$$ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$は、全て同じ...
#ceq(e)
式6: $$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
;,纏めると、$$ dx $$や$$ dF $$などの全微分は区間の無限分...
;,微分積分学の基本公式の1つ目の読み方は:
#ceq(e)
$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$: ''細か...
#ceq(d)
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* 「独立変数の微分」と「従属変数の微分」の関係 [#f862cfa5]
;,第3段階として、$$ F $$と$$ x $$の関係を考える。
;,ここに来て初めて2つの変数が出揃うので、横軸$$ x $$、縦...
;,手口はこれまで同様、2点の場合、適当に分割した場合、無...
|&attachref(./Fx差.png,25%);|&attachref(./Fx差分.png,25%)...
;,''まずは''、$$ x $$軸と2点$$ x_a $$と$$ x_b $$、直交す...
;,軸上に2点があれば、長さ$$ \gDl x $$の区間$$ x_a::x_b $...
;,2つの差$$ \gDl x $$と$$ \gDl F $$の関係を無理やり式で...
((一般に、$$ \gDl F $ \neq $ F(\gDl x) $$であることに注...
(($$ x $$も$$ F $$の関係も具体的に分からない場合、$$ \g...
((恒等式も$$ \gDl F $ = $ \gDl F $ - $ \gDl x $ + $ \gD...
#ceq(e)
式7: $$ \gDl F $ = $ \ffd{\gDl F}{\gDl x} $ \gDl x...
#ceq(end)
;,''つぎに''、$$ x_a::x_b $$を分割し、$$ F_i $ = $ F(x_i)...
;,対応する2つの差分$$ \gdl x_i $$と$$ \gdl F_i $$に着目...
#ceq(e)
式8: $$ \gdl F_i $ = $ \ffd{\gdl F_i}{\gdl x_i} $ ...
#ceq(end)
;,''続けて''、$$ x_a::x_b $$を無限に分割する。
;,$$ \gdl x_i $$と$$ \gdl F_i $$が小さくなるだけで何も変...
#ceq(e)
式9: $$ dF_i $ = $ \ddd{F_i}{x_i} $ dx_i $$
#ceq(end)
;,''最後に''、対応していることが分かれば良いので、添字$$ ...
#ceq(e)
式10: $$ dF $ = $ \ddd{F}{x} $ dx $$
#ceq(end)
纏めると、$$ dx $$や$$ dF $$などの全微分の乗算と除算は差...
微分積分学の基本公式の2つ目の読み方は:
#ceq(e)
$$ dF $ = $ \ddd{F}{x} $ dx $$: ''割って掛ければ元の...
#ceq(d)
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* 微分積分の基本公式 [#bbd27140]
;,これまで、「差$$ \gDl $$」→「差分$$ \gdl $$」→「微分$$ ...
;,それぞれで得た式を並べば、区間を小さくしただけで、他は...
|*差 |*差分 ...
|&attachref(./Fx差.png,25%);|&attachref(./Fx差分.png,25%)...
|* |c:*差と和 |< |< ...
|l: |r: |lx: |lx: ...
|*差 |$$ \iro[hi]{\sum} $ \gDl F $$|$$ = $$|$$ \gDl F...
|*差分|$$ \sum_{i=1}^{N} $ \gdl F_i $$|$$ = $$|$$ \gDl F...
|*微分|$$ \sum_{i=1}^{\infty} $ dF_i $$|$$ = $$|$$ \gDl F...
|^ |$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$|$$ = $$|$$ \gDl F...
;,また、微分積分学の基本公式の一般的な説明では「近似誤差...
((例: 物理のかぎしっぽ/物理数学/和と積分の関係(上の話...
((例: 青空学園数学課/数学対話/基礎分野/定積分の定義/微...
が、
;,上記の区間を狭める各過程において、差と和、商と積の式は...
;,これは差分商を上手く設定しているためで、通常の説明で用...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* まとめ・つなぎ [#hb1ec061]
;,これまで、微分積分の基本公式を直観的に理解するため、全...
;,これらの図では、差→差分→微分と変化させながら、基本公式...
;,微分積分の基本公式は、ベクトル解析の分野で大きな影響力...
;,この考え方は、線積分、面積分、体積分の間にある置換積分...
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 補足: 2種類の微分積分 [#u83c768b]
;,微分積分の直観的理解のため、変数の微分$$ dF $$とその積...
;,$$ dF $$は全微分とも呼ばれ、偏微分など((他に、常微分、...
((EMANの物理学/解析力学/全微分: 偏微分 vs 全微分 vs 常...
((Wikipedia/微分法: 微分係数や導関数と微分 http://ja.w...
((Wikipedia/偏微分/全微分: 全微分と微分 http://ja.wiki...
((ブラックショールズのモデルを導出への道しるべ/微分積...
;,$$ \int_{F_a}^{F_b} dF $$は被積分関数が$$ 1 $$の積分と...
| | |l=: | ...
|*系統名(仮案)|< |*全微分 |*偏微分 ...
|^ |< |*変数の微分 |*関数の微分 ...
|*慣用名 |*略称 | 微分 | 微分 ...
|^ |*1変数| 全微分 | 常微分 ...
|^ |*多変数|^ | 偏微分 ...
|*表記例 |< | $$ dF $$、$$ dx $$| $$ \ddd{F}{...
;,全微分は特定の変数だけの微小量であり、全積分はその逆演...
;,偏微分は関数と変数の関係であり、偏積分はその逆演算とし...
;,また、偏微分は2つの全微分の商とも見なせて、この解釈で...
;,微分積分の基本公式$$ \int_{x_a}^{x_b} $ \ddd{F}{x} $ dx...
;,$$ \int_{x_a}^{x_b} $ \ddd{F}{x} $ dx $$が導関数$$ \ddd...
;,微分積分の基本公式は偏積分と全積分を結ぶ変換公式である...
;,&font(#C00){※ 日本語の「微分」も「全微分」も複数の概念...
((物理のかぎしっぽ/掲示板:「微分」の混用 http://hookta...
&font(#C00){。};
;,&font(#C00){英語でも多少の揺れはあるが、$$ \iro[ak]{dF}...
((芝浦工業大学/.../微分積分学入門: 導関数(derivative,P...
((Simon Fraser University/.../経済学 Multivariable Calc...
((日本語の英語に誤訳が出るほどなので、要注意。))
&font(#C00){。};
;,&font(#C00){漢字を使う中国語でも結構の揺れはあるが、$$ ...
;,&font(#C00){現時点で「全微分」と「偏微分」で微分・積分...
((第1仮案は、「変数の」か「関数の」かで接頭語を付ける...
((第2仮案は、中国語に倣い「微分」と「導関数」に基づく...
&font(#C00){。};
;,&font(#C00){【追記】「全導関数」の用例((西南学院大学/経...
%bodynote
* 補足3:ベクトルとして見た、全微分・偏微分・不完全微分 ...
;,全微分自体をベクトルとして扱う視点で、微分の用語をベク...
;,ここで、具体例は以下の場合について考える:
- 関数$$ F $ = $ F(x(t),y(t)) $$の微分$$ dF $ = $ \ppd{F}...
- ベクトル$$ \:F $$の成分分解$$ \:F $ = $ F_x $ \:e_x $ +...
- 参考に勾配$$ \:\nabla F $$と方向微分係数$$ \;\nabla F $...
| |c: |l-:c: |l.:r: |l...
|*微分 |< |< |< |<...
|*具体例 |*用語 |< |< |<...
|*$$ dF \fracstrut $$| |全微分|完全微分 |...
|*$$ \ppd{F}{x} dx $$| | |不完全微分| ...
|*$$ \ppd{F}{x} $$| |偏微分| | ...
|*$$ \ddd{F}{t} $$|微分 |常微分| |...
|*$$ \:\nabla F $$| |勾配 | | ...
|*$$ \:\nabla F \sx \:n $$| | | | ...
- 【メモ】勾配を全微分係数と呼ぶ例はあったが、用法は要調...
- 【メモ】勾配を全導関数と呼ぶ例はあったが、用法は要調査(...
--【メモ】常微分を全導関数と呼ぶ用法も要調査((http://www....
-
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//;,&attachref(./差.png,40%);
//
//
//- 方法1: 微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し...
//-- 手順1: 2点の差を考える
//-- 手順2: 2点の間を有限に分割し、各分割に対応する差...
//-- 手順3: 2点の間を無限に分割し、同上。
//* 一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分...
//-- 手順4: 関数を考える
//-- 手順5: 手順1〜3を繰り返す
//* 作図
//- 座標
// $$ \iro[md]{x} $$
// $$ \iro[md]{F} $$
// $$ \iro[md]{0} $$
// $$ \iro[md]{x_a} $$
// $$ \iro[md]{x_b} $$
// $$ \iro[md]{F_a} $$
// $$ \iro[md]{F_b} $$
//
//- 差
// $$ \iro[ai]{F} $$
// $$ \iro[ai]{x_0} $$
// $$ \iro[ai]{x_1} $$
// $$ \iro[ai]{x_2} $$
// $$ \iro[ai]{x_3} $$
// $$ \iro[ai]{x_n} $$
// $$ \iro[ai]{x_N} $$
// $$ \iro[ai]{x_\infty} $$
// $$ \iro[ai]{F_0} $$
// $$ \iro[ai]{F_n} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
//- 差分
// $$ \iro[ai]{x_i} $$
// $$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
// $$ \iro[ai]{F_i} $$
// $$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_0} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_0} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_1} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_1} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_2} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_2} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_N} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_N} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_\infty} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_\infty} $$
//
// $$ \iro[ai]{\cdots} $$
// $$ \iro[ak]{\cdots} $$
//
// $$ \iro[ak]{dF} $$
// $$ \iro[ak]{dx} $$
//- 微分
// $$ \iro[ak]{dF_0} $$
// $$ \iro[ak]{dx_0} $$
// $$ \iro[ak]{dF_1} $$
// $$ \iro[ak]{dx_1} $$
// $$ \iro[ak]{dF_i} $$
// $$ \iro[ak]{dx_i} $$
// $$ \iro[ak]{dF_N} $$
// $$ \iro[ak]{dx_N} $$
// $$ \iro[ak]{dF_\infty} $$
// $$ \iro[ak]{dx_\infty} $$
//- グラフ
//;,&attachref(./差分.png,40%);
//;,&attachref(./微分.png,40%);
ページ名:
xu基底系.png
6323件
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詳細
]
xu座標系.png
6333件
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詳細
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x座標系.png
6438件
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詳細
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2ApplePlate.png
336件
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Apple.png
617件
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詳細
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符号ix(ixj).png
365件
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詳細
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符号Ax(BxC).png
377件
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詳細
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符号判定(AxB)xC.png
687件
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詳細
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符号判定Ax(BxC).png
755件
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PerpPerp.png
762件
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BxC.png
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AxBxC+-.png
419件
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Ax(BxC).png
1009件
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Ax(BxC)+-.png
402件
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原子半径の温度変化.jpg
1128件
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密度の温度変化.jpg
912件
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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根号式.png
425件
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分数式.png
426件
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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ベクトル除算.png
617件
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基底除算.png
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立方体.jpg
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q_2d.gif
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ffd_p_q.gif
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Ouv.png
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Ors.png
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CosSinMap.png
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1cosIsinMap.png
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正弦減法.png
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Sp1.png
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Sp0.png
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Sp4.png
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Sp3.png
360件
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Sp2.png
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yeqaplx3.png
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dyfrdceqtan.png
503件
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Fx微分.png
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Fx差.png
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F差分.png
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F差.png
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x微分.png
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x差分.png
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x差.png
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F対xの微分商.png
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F対xの差分商.png
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F対xの差商.png
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Fの微分.png
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Fの差.png
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Fの差分.png
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xの微分.png
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xの差分.png
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xの差.png
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f=0y+9t.png
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f=1y+6t.png
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f=2y+3t.png
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微小座標系.png
6001件
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偏微分の多義性.png
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HennBibunnAll.png
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