平方根の選択
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* 奇妙な式 [#w0d4317b]
;,一般に、''正の実数範囲内''では、平方根は乗法に対して分...
#ceq(e)
$$ \rt{a \times b} $ = $ \rt a $ \times $ \rt b $$
#ceq(d)
具体的に、
#ceq(e)
$$ 6 $ = $ \rt{36} $ = $ \rt{4 \times 9} $ = $ \rt 4 ...
#ceq(d)
;,$$ a > 0 $$かつ$$ b > 0 $$の成立条件を無視すると次の奇...
#ceq(e)
$$ 6 $ = $ \rt{36} $ = $ \rt{(-4)\times(-9)} $ =\!\!\...
#ceq(d)
;,もちろん$$ 6 $ \neq $ -6 $$であるので、この式は間違って...
;,実際、間違っているのは$$ =\!\!\!\!? $$の等号で左右の符...
;,つまり、
- $$ 6 $ = $ \rt{36} $ = $ \rt{(-4)\times(-9)} $ > $ 0 $$
- $$ \rt{-4} $ \times $ \rt{-9} $ = $ 2\:i $ \times $ 3\:...
;,これは単位量で考えると分かり易い:
#ceq(e)
$$ 1 $ = $ \rt{1} $ = $ \rt{(-1)\times(-1)} $ > $ 0 $ \...
#ceq(d)
;,奇妙な式が間違っていることは分かった。
;,以下では、その原因について考察する。
* 原因:平方根の人為的選択 [#mccaf045]
;,一般に、平方根と言えば、平方の逆演算を意味する概念であ...
;,すなわち、任意の実数$$ p $$の平方根と言えば、$$ x^2 $ =...
;,ところが、平方根の表記に用いられる根号は、''正の平方根'...
;,例えば、$$ 36 $$の平方根は$$ 6 $$と$$ -6 $$の2つが存在...
;,$$ \rt{36} $$は$$ 6 $$、$$ -\rt{36} $$は$$ -6 $$を意味...
;,このため、$$ 36 $ = $ (-6) $ \times $ (-6) $$ではあるが、
;,$$ \rt{(-6)\times(-6)} $$と書いても$$ \rt{6 \times 6} $...
;,$$ \rt{-6} $ \times $ \rt{-6} $$に分配した場合、負の平...
;,どちらも$$ 36 $$の平方根に違いないが、$$ 6 $ \neq $ -6 ...
//;,これは虚数になっても同じである。
//;,虚数単位$$ \:i $$を導入すれば、$$ \rt{-36} $$は$$ 6\:...
//#ceq(e)
// ∵ $$ (-6\:i)^2 $ = $ (-1)^2 $ \times $ 6^2 $ \time...
//#ceq(d)
//;,$$ 6\:i $$も$$ -6\:i $$も虚数であるために正・負で区別...
//;,どちらも2つある平方根の片方だけを選択しているのは要...
;,以上の視点で$$ \rt{(-4)\times(-9)} $ \neq $ \rt{-4} $ \...
;,左辺は$$ 36 $$の平方根の内、正の平方根を選択していると...
;,右辺は虚数が現れるもが、結果的に負の平方根を選択してい...
;,もし、負の平方根を選択していれば、分配則は成立すると見...
#ceq(e)
$$ -\rt{(-4)\times(-9)} $ = $ \rt{-4} $ \times $ \rt{...
#ceq(d)
* 一般化 [#wfb0bd86]
;,以下では、正の平方根と負の平方根を整理し、平方根として...
;,任意の正実数$$ p $, $ x $, $ a $, $ b $$について、$$ p ...
#ceq(e)
・正実数は正実数の平方で表せる
&br; $$ p $ = $ x^2 $$
#ceq(q)
・正実数は負実数の平方で表せる
&br; $$ p $ = $ (-x)^2 $$
#ceq(e)
・正実数の正平方根が存在する
&br; $$ \rt{p\mathstrut} $ = $ \rt{x^2\mathstru...
#ceq(q)
・正実数の負平方根が存在する
&br; $$ -\rt{p\mathstrut} $ = $ -\rt{(-x)^2\math...
#ceq(e)
・正実数の正平方根は、
&br; 正平方根の平方根の平方で表せる
&br; $$ \rt{p\mathstrut} $ = $ x $ = $ \rt{x\ma...
#ceq(q)
・正実数の負平方根は、
&br; 負平方根の平方根の平方で表せる
&br; $$ -\rt{p\mathstrut} $ = $ -x $ = $ \rt{-x\...
#ceq(e)
・正実数は正実数の積で表せる
&br; $$ p $ = $ a $ b $$
#ceq(q)
・正実数は負実数の積で表せる
&br; $$ p $ = $ (-a) $ (-b) $$
#ceq(e)
・乗法に対する正平方根の分配則:
&br; 正実数の積の正平方根は、
&br; 正実数の平方根の積で表せる
&br; $$ \rt{p\mathstrut} $ = $ \rt{ab\mathstrut...
#ceq(q)
・乗法に対する負平方根の分配則:
&br; 負実数の積の負平方根は、
&br; 負実数の平方根の積で表せる
&br; $$ -\rt{p\mathstrut} $ = $ -\rt{(-a)(-b)\ma...
#ceq(d)
正平方根と負平方根の分配則を合わせて、
#ceq(e)
・積の平方根は、平方根の積に分配できる。(複号同順)
&br; $$ \pm\rt{(\pm a) \times (\pm b)} $ = $ \rt...
&br;ただし、$$ a $$と$$ b $$は正の実数である。
#ceq(d)
* まとめ [#gd5ee169]
;,習慣的に、根号は正平方根を表すように定義されている。
;,その結果、乗法に対する平方根の分配則は正実数の範囲でし...
;,しかし、平方根の選択を注意深く行えば、分配則は実数全体...
終了行:
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* 奇妙な式 [#w0d4317b]
;,一般に、''正の実数範囲内''では、平方根は乗法に対して分...
#ceq(e)
$$ \rt{a \times b} $ = $ \rt a $ \times $ \rt b $$
#ceq(d)
具体的に、
#ceq(e)
$$ 6 $ = $ \rt{36} $ = $ \rt{4 \times 9} $ = $ \rt 4 ...
#ceq(d)
;,$$ a > 0 $$かつ$$ b > 0 $$の成立条件を無視すると次の奇...
#ceq(e)
$$ 6 $ = $ \rt{36} $ = $ \rt{(-4)\times(-9)} $ =\!\!\...
#ceq(d)
;,もちろん$$ 6 $ \neq $ -6 $$であるので、この式は間違って...
;,実際、間違っているのは$$ =\!\!\!\!? $$の等号で左右の符...
;,つまり、
- $$ 6 $ = $ \rt{36} $ = $ \rt{(-4)\times(-9)} $ > $ 0 $$
- $$ \rt{-4} $ \times $ \rt{-9} $ = $ 2\:i $ \times $ 3\:...
;,これは単位量で考えると分かり易い:
#ceq(e)
$$ 1 $ = $ \rt{1} $ = $ \rt{(-1)\times(-1)} $ > $ 0 $ \...
#ceq(d)
;,奇妙な式が間違っていることは分かった。
;,以下では、その原因について考察する。
* 原因:平方根の人為的選択 [#mccaf045]
;,一般に、平方根と言えば、平方の逆演算を意味する概念であ...
;,すなわち、任意の実数$$ p $$の平方根と言えば、$$ x^2 $ =...
;,ところが、平方根の表記に用いられる根号は、''正の平方根'...
;,例えば、$$ 36 $$の平方根は$$ 6 $$と$$ -6 $$の2つが存在...
;,$$ \rt{36} $$は$$ 6 $$、$$ -\rt{36} $$は$$ -6 $$を意味...
;,このため、$$ 36 $ = $ (-6) $ \times $ (-6) $$ではあるが、
;,$$ \rt{(-6)\times(-6)} $$と書いても$$ \rt{6 \times 6} $...
;,$$ \rt{-6} $ \times $ \rt{-6} $$に分配した場合、負の平...
;,どちらも$$ 36 $$の平方根に違いないが、$$ 6 $ \neq $ -6 ...
//;,これは虚数になっても同じである。
//;,虚数単位$$ \:i $$を導入すれば、$$ \rt{-36} $$は$$ 6\:...
//#ceq(e)
// ∵ $$ (-6\:i)^2 $ = $ (-1)^2 $ \times $ 6^2 $ \time...
//#ceq(d)
//;,$$ 6\:i $$も$$ -6\:i $$も虚数であるために正・負で区別...
//;,どちらも2つある平方根の片方だけを選択しているのは要...
;,以上の視点で$$ \rt{(-4)\times(-9)} $ \neq $ \rt{-4} $ \...
;,左辺は$$ 36 $$の平方根の内、正の平方根を選択していると...
;,右辺は虚数が現れるもが、結果的に負の平方根を選択してい...
;,もし、負の平方根を選択していれば、分配則は成立すると見...
#ceq(e)
$$ -\rt{(-4)\times(-9)} $ = $ \rt{-4} $ \times $ \rt{...
#ceq(d)
* 一般化 [#wfb0bd86]
;,以下では、正の平方根と負の平方根を整理し、平方根として...
;,任意の正実数$$ p $, $ x $, $ a $, $ b $$について、$$ p ...
#ceq(e)
・正実数は正実数の平方で表せる
&br; $$ p $ = $ x^2 $$
#ceq(q)
・正実数は負実数の平方で表せる
&br; $$ p $ = $ (-x)^2 $$
#ceq(e)
・正実数の正平方根が存在する
&br; $$ \rt{p\mathstrut} $ = $ \rt{x^2\mathstru...
#ceq(q)
・正実数の負平方根が存在する
&br; $$ -\rt{p\mathstrut} $ = $ -\rt{(-x)^2\math...
#ceq(e)
・正実数の正平方根は、
&br; 正平方根の平方根の平方で表せる
&br; $$ \rt{p\mathstrut} $ = $ x $ = $ \rt{x\ma...
#ceq(q)
・正実数の負平方根は、
&br; 負平方根の平方根の平方で表せる
&br; $$ -\rt{p\mathstrut} $ = $ -x $ = $ \rt{-x\...
#ceq(e)
・正実数は正実数の積で表せる
&br; $$ p $ = $ a $ b $$
#ceq(q)
・正実数は負実数の積で表せる
&br; $$ p $ = $ (-a) $ (-b) $$
#ceq(e)
・乗法に対する正平方根の分配則:
&br; 正実数の積の正平方根は、
&br; 正実数の平方根の積で表せる
&br; $$ \rt{p\mathstrut} $ = $ \rt{ab\mathstrut...
#ceq(q)
・乗法に対する負平方根の分配則:
&br; 負実数の積の負平方根は、
&br; 負実数の平方根の積で表せる
&br; $$ -\rt{p\mathstrut} $ = $ -\rt{(-a)(-b)\ma...
#ceq(d)
正平方根と負平方根の分配則を合わせて、
#ceq(e)
・積の平方根は、平方根の積に分配できる。(複号同順)
&br; $$ \pm\rt{(\pm a) \times (\pm b)} $ = $ \rt...
&br;ただし、$$ a $$と$$ b $$は正の実数である。
#ceq(d)
* まとめ [#gd5ee169]
;,習慣的に、根号は正平方根を表すように定義されている。
;,その結果、乗法に対する平方根の分配則は正実数の範囲でし...
;,しかし、平方根の選択を注意深く行えば、分配則は実数全体...
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xu基底系.png
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xu座標系.png
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x座標系.png
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2ApplePlate.png
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Apple.png
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PerpPerp.png
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BxC.png
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Ax(BxC).png
1011件
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Ax(BxC)+-.png
403件
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原子半径の温度変化.jpg
1129件
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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分数式.png
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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基底除算.png
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立方体.jpg
154件
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q_2d.gif
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ffd_p_q.gif
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Ors.png
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正弦減法.png
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Sp0.png
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dyfrdceqtan.png
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xの微分.png
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xの差分.png
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f=2y+3t.png
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微小座標系.png
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HennBibunnAll.png
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