偏微分/偏微分と常微分の違い
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/偏微分と常微分の違い(編集中)
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偏微分と常微分の違いは、定義式から「固定する変数の有無」...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$
$$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
$$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\...
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ ...
しかし、その違いは「関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青...
実際、1変数関数は2変数関数の特殊例と見なすことができ、...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
$$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\...
$$ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)
このため、偏微分と常微分の違いを説明するには、
同一の多変数関数に対し$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \neq $ \i...
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* 偏微分と常微分の違い [#ub89104e]
準備として、2変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定...
#ceq(e)
$$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} ...
#ceq(end)
ここで、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$であれば、$...
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のよう...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t}...
;. ((偏微分を駆け足で学ぶ人には、恐らくこれが同一の...
#ceq(end)
ここまでは多くのテキストで述べられている。
これを利用し、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\dd...
((この関数は、[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homep...
のような$$ t $$を含む関数を考える必要がある。
まず、$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のよう書け...
#ceq(e)
$$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} ...
#ceq(end)
次ぎに、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$を代入すれ...
((この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する2変数関...
このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ dt $$で割ることで$...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
$$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
$$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
$$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず、「偏微分と常微分は違う」という結論に至る。
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{t}}...
#ceq(end)
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* 偏微分と偏微分の違い [#ub89104e]
偏微分と常微分の違いは前節の通りである。
しかし、これは一見良さそうだが、式の意味を読み取ろうとす...
((注意:飽くまでも偏微分の矛盾である。EMANの物理の説明自...
例えば、$$ f $$が$$ t $$に関する1変数関数に化けられるな...
冒頭で述べたように1変数関数を多変数関数の特例と見なせて...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$...
#ceq(end)
これに、前節で得た$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ \neq $ \iro[a...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}}...
#ceq(end)
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* 色んな$$ \ppd{f}{t} $$ [#dea0c3af]
条件を少し変えて、中途半端な$$ f(x, y(t), t) $$について考...
「$$ x(t) $$と書いていたが、実は$$ x $$に$$ t $$が含まれ...
すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
$$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
$$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
$$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
しかし、今度は$$ f $$に$$ y $ = $ y(t) $$を代入しても$$ t...
代わりに$$ f $$は$$ x $$と$$ t $$に関する2変数関数になる...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
$$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
$$ + $ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
問題は、この紫の偏微分は赤い偏微分と別物で、両式を比較す...
#ceq(e)
;. $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \ppd{...
#ceq(end)
それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響...
どの項も消えず$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\...
同様に代入の加減をすれば、赤、紫、青以外にも、色んな偏微...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 直感的な説明:偏微分の数え方 [#kdd3351c]
以下では、偏微分の矛盾を$$ f $ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \ir...
まず、$$ f $$に$$ x $ = $ 2t $$と$$ y $ = $ 3t $$を少しず...
#ceq(e)
$$ f $$
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]...
#ceq(a)
与式
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]...
#ceq(a)
$$ y $ = $ 3t $$を用いて、1つの$$ y $$を$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ \pha...
#ceq(a)
もう1つの$$ y $$も$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \phantom{1x}\!\!\! $ \phantom+ $ \phantom{1y} ...
#ceq(a)
$$ x $ = $ 2t $$を用いて、$$ x $$を$$ 2t $$に変換
#ceq(end)
それぞれの式から次の偏微分が考えられる:
#ceq(e)
$$ f $$
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ak]{3} $$
#ceq(e)
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$$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[pk]{6} $$
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$$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ + $ ...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mr]{9} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \phantom{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y}\!\!\! ...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{11} $ = $ \i...
#ceq(end)
その気になれば無数の偏微分を作れる。例えば、こんな色のも...
#ceq(e)
$$ f $$
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{-1x} $ \phantom+\!\!\!\! $ \phantom{1...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mz]{13} $$
#ceq(end)
纏めると:
+ 式変形により$$ t $$の数を自由に変えられる
+ それぞれの数に対して特色のある偏微分を作れる
+ $$ t $$以外に文字が無いときの偏微分が常微分である
これが凌宮数学の視点から見た偏微分と常微分である。
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* まとめ・つなぎ [#ca86b0a5]
多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ ...
ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。
この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正し...
そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるよ...
また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発...
実際、熱力学では赤と青の他、紫に相当する偏微分も登場する。
そのため、$$ \ppd{f}{t} $$よりも強力な偏微分表記が用いら...
それでも全ての偏微分を書き分けるには不十分であるが、
次回は、その強力な表記を通じて偏微分の意味について確認し...
//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} \neq \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
終了行:
/偏微分と常微分の違い(編集中)
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偏微分と常微分の違いは、定義式から「固定する変数の有無」...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$
$$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
$$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\...
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ ...
しかし、その違いは「関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青...
実際、1変数関数は2変数関数の特殊例と見なすことができ、...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
$$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\...
$$ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)
このため、偏微分と常微分の違いを説明するには、
同一の多変数関数に対し$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \neq $ \i...
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* 偏微分と常微分の違い [#ub89104e]
準備として、2変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定...
#ceq(e)
$$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} ...
#ceq(end)
ここで、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$であれば、$...
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のよう...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t}...
;. ((偏微分を駆け足で学ぶ人には、恐らくこれが同一の...
#ceq(end)
ここまでは多くのテキストで述べられている。
これを利用し、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\dd...
((この関数は、[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homep...
のような$$ t $$を含む関数を考える必要がある。
まず、$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のよう書け...
#ceq(e)
$$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} ...
#ceq(end)
次ぎに、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$を代入すれ...
((この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する2変数関...
このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ dt $$で割ることで$...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
$$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
$$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
$$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず、「偏微分と常微分は違う」という結論に至る。
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{t}}...
#ceq(end)
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* 偏微分と偏微分の違い [#ub89104e]
偏微分と常微分の違いは前節の通りである。
しかし、これは一見良さそうだが、式の意味を読み取ろうとす...
((注意:飽くまでも偏微分の矛盾である。EMANの物理の説明自...
例えば、$$ f $$が$$ t $$に関する1変数関数に化けられるな...
冒頭で述べたように1変数関数を多変数関数の特例と見なせて...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$...
#ceq(end)
これに、前節で得た$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ \neq $ \iro[a...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}}...
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* 色んな$$ \ppd{f}{t} $$ [#dea0c3af]
条件を少し変えて、中途半端な$$ f(x, y(t), t) $$について考...
「$$ x(t) $$と書いていたが、実は$$ x $$に$$ t $$が含まれ...
すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
$$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
$$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
$$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
しかし、今度は$$ f $$に$$ y $ = $ y(t) $$を代入しても$$ t...
代わりに$$ f $$は$$ x $$と$$ t $$に関する2変数関数になる...
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
$$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
$$ + $ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
問題は、この紫の偏微分は赤い偏微分と別物で、両式を比較す...
#ceq(e)
;. $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \ppd{...
#ceq(end)
それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響...
どの項も消えず$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\...
同様に代入の加減をすれば、赤、紫、青以外にも、色んな偏微...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 直感的な説明:偏微分の数え方 [#kdd3351c]
以下では、偏微分の矛盾を$$ f $ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \ir...
まず、$$ f $$に$$ x $ = $ 2t $$と$$ y $ = $ 3t $$を少しず...
#ceq(e)
$$ f $$
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]...
#ceq(a)
与式
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]...
#ceq(a)
$$ y $ = $ 3t $$を用いて、1つの$$ y $$を$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ \pha...
#ceq(a)
もう1つの$$ y $$も$$ 3t $$に変換
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \phantom{1x}\!\!\! $ \phantom+ $ \phantom{1y} ...
#ceq(a)
$$ x $ = $ 2t $$を用いて、$$ x $$を$$ 2t $$に変換
#ceq(end)
それぞれの式から次の偏微分が考えられる:
#ceq(e)
$$ f $$
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{2y} $ + $ \iro[ak]...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ak]{3} $$
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$$ = $ \iro[ao]{1x} $ + $ \iro[mr]{1y} $ + $ \iro[pk]...
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⇒ $$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[pk]{6} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y} $ + $ ...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mr]{9} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \phantom{1x} $ \phantom+ $ \phantom{1y}\!\!\! ...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{11} $ = $ \i...
#ceq(end)
その気になれば無数の偏微分を作れる。例えば、こんな色のも...
#ceq(e)
$$ f $$
#ceq(c)
$$ = $ \iro[ao]{-1x} $ \phantom+\!\!\!\! $ \phantom{1...
#ceq(q)
⇒ $$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[mz]{13} $$
#ceq(end)
纏めると:
+ 式変形により$$ t $$の数を自由に変えられる
+ それぞれの数に対して特色のある偏微分を作れる
+ $$ t $$以外に文字が無いときの偏微分が常微分である
これが凌宮数学の視点から見た偏微分と常微分である。
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* まとめ・つなぎ [#ca86b0a5]
多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ ...
ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。
この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正し...
そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるよ...
また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発...
実際、熱力学では赤と青の他、紫に相当する偏微分も登場する。
そのため、$$ \ppd{f}{t} $$よりも強力な偏微分表記が用いら...
それでも全ての偏微分を書き分けるには不十分であるが、
次回は、その強力な表記を通じて偏微分の意味について確認し...
//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} \neq \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
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