変換行列の連鎖則
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/変換行列の連鎖則
/////////////////////////////////////////////////////////...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 背景 [#w2ced3c2]
;;3次元球面座標で変換行列は
$$
\left\{\arr[l]{
x = r\sin\theta\, \cos\phi \\
y = r\sin\theta\, \sin\phi \\
z = r\cos\theta \\
}\right.
$$
で定義され、
;,変換行列は以下のように表される:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
$=
$\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\...
\sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\...
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 ...
}
$$
#ceq(e)
$$
\phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
$=
$\arrs[ccc]{
\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
}
$\arrs[ccc]{
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
}
$\arrs[ccc]{
1 & 0 & 0 \\
0 & r & 0 \\
0 & 0 & r\sin\theta \\
}
$$
#ceq(d)
以下では、この因数分解の幾何的意味を考える。
/////////////////////////////////////////////////////////...
/////////////////////////////////////////////////////////...
* 回転と計量の分解 [#d83c40b3]
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 2次元極座標系における回転と計量の分解 [#w2a34b92]
;;一般に、2次元の極座標系は
$$
\left\{\arr[l]{
x = r\cos\phi \\
y = r\sin\phi \\
}\right.
$$
で定義され((一般的に$$ \phi $$ではなく$$ \theta $$を用い...
;,変換行列は以下のように表せる:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}
$=
$\arrs[cc]{
\cos\phi & -r\sin\phi \\
\sin\phi & r\cos\phi \\
}
$$
#ceq(d)
;,変換行列の行列式であるヤコビアンを計算すると:
#ceq(e)
$$
\left|\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}\right|
$ = $ (\cos\phi) $ (r\cos\phi) $ - $ (\sin\phi) $ (-r\c...
$ = $ r
$$
#ceq(d)
;,よって、置換積分は$$ dx $ dy $ = $ r $ dr $ d\phi $$と...
;;これは、$$ dr $$ と $$ r $ d\phi $$の積と見なせて、
;,$$ \theta $$が無次元のため、計量$$ r $$で長さの次元を帳...
;;ここで、変換行列から計量を分離すると、回転行列が残った...
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}
$=
$\arrs[cc]{
\cos\phi & -\sin\phi \\
\sin\phi & \cos\phi \\
}
$\arrs[cc]{
1 & 0 \\
0 & r \\
}
$$
#ceq(d)
%bodynote
/////////////////////////////////////////////////////////...
** 3次元極座標系における回転と計量の分解 [#vcb2db62]
;,3次元極座標系に対しても同様に考察すると、
;,ヤコビアンを頑張って計算すれば、
$$
\left|\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}\right|
$ = $ r^2\sin\theta
$$
を得られて、
;,置換積分は$$ dx $ dy $ dz $ = $ r^2 $ \sin\theta $ dr $...
;,類推から$$ dr $$と$$ r $ d\theta $$と$$ r $ \sin\theta ...
;,各次元の帳尻合わせと解釈できる。
;,特に$$ \phi $$方向の計量は、$$ r $$に依存するのみならず...
;,同じ半径$$ r $$の球面上における異なる$$ \theta $$の円周...
;,すると、2次元と同様に回転と計量を分離できる:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
$=
$\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\...
\sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\...
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 ...
}
$$
#ceq(e)
$$
\phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
$=
$\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & \cos\theta\, \cos\phi & -\si...
\sin\theta\, \sin\phi & \cos\theta\, \sin\phi & \co...
\cos\theta & -\sin\theta & 0 ...
}
$\arrs[ccc]{
1 & 0 & 0 \\
0 & r & 0 \\
0 & 0 & r\sin\theta \\
}
$$
#ceq(d)
;,2列目から$$ r $$を、3列目から$$ r $ \sin\theta $$を抜...
;,
$$
\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & \cos\theta\, \cos\phi & -\si...
\sin\theta\, \sin\phi & \cos\theta\, \sin\phi & \co...
\cos\theta & -\sin\theta & 0 ...
}
$$
が3次元の回転を表すが、
;,3次元回転が2回の2次元回転で合成できる事実は古くから...
;,3次元回転を2次元回転に分解したのが冒頭に示した因数分...
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
$=
$\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\...
\sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\...
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 ...
}
$$
#ceq(e)
$$
\phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
$=
$\arrs[ccc]{
\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
}
$\arrs[ccc]{
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
}
$\arrs[ccc]{
1 & 0 & 0 \\
0 & r & 0 \\
0 & 0 & r\sin\theta \\
}
$$
#ceq(d)
;,特に最初の
$$
$\arrs[ccc]{
\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
}
$$
が、2次元回転の
$$
$\arrs[cc]{
\cos\phi & -\sin\phi \\
\sin\phi & \cos\phi \\
}
$$
と全く同じである。
;,共に$$ x $$軸と$$ y $$軸の両方に直な方向を軸に、$$ x $$...
;,簡単なため、これを「$$ x $$軸を$$ y $$軸に回した回転」...
;,2番目の行列である
$$
$\arrs[ccc]{
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
}
$$
は3行目を1行目に、1行目を2行目に置換すれば、
;,これまた2次元の回転と同じ形になる。
;,つまり、$$ z $$→$$ x $$、$$ x $$→$$ y $$に置換すれば、$...
;,逆に言い方の方を置換すれば、「$$ z $$軸を$$ x $$軸に回...
;,すなわち、共に$$ z $$軸と$$ x $$軸の両方に直な方向を軸...
終了行:
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/変換行列の連鎖則
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* 背景 [#w2ced3c2]
;;3次元球面座標で変換行列は
$$
\left\{\arr[l]{
x = r\sin\theta\, \cos\phi \\
y = r\sin\theta\, \sin\phi \\
z = r\cos\theta \\
}\right.
$$
で定義され、
;,変換行列は以下のように表される:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
$=
$\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\...
\sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\...
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 ...
}
$$
#ceq(e)
$$
\phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
$=
$\arrs[ccc]{
\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
}
$\arrs[ccc]{
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
}
$\arrs[ccc]{
1 & 0 & 0 \\
0 & r & 0 \\
0 & 0 & r\sin\theta \\
}
$$
#ceq(d)
以下では、この因数分解の幾何的意味を考える。
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* 回転と計量の分解 [#d83c40b3]
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** 2次元極座標系における回転と計量の分解 [#w2a34b92]
;;一般に、2次元の極座標系は
$$
\left\{\arr[l]{
x = r\cos\phi \\
y = r\sin\phi \\
}\right.
$$
で定義され((一般的に$$ \phi $$ではなく$$ \theta $$を用い...
;,変換行列は以下のように表せる:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}
$=
$\arrs[cc]{
\cos\phi & -r\sin\phi \\
\sin\phi & r\cos\phi \\
}
$$
#ceq(d)
;,変換行列の行列式であるヤコビアンを計算すると:
#ceq(e)
$$
\left|\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}\right|
$ = $ (\cos\phi) $ (r\cos\phi) $ - $ (\sin\phi) $ (-r\c...
$ = $ r
$$
#ceq(d)
;,よって、置換積分は$$ dx $ dy $ = $ r $ dr $ d\phi $$と...
;;これは、$$ dr $$ と $$ r $ d\phi $$の積と見なせて、
;,$$ \theta $$が無次元のため、計量$$ r $$で長さの次元を帳...
;;ここで、変換行列から計量を分離すると、回転行列が残った...
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}
$=
$\arrs[cc]{
\cos\phi & -\sin\phi \\
\sin\phi & \cos\phi \\
}
$\arrs[cc]{
1 & 0 \\
0 & r \\
}
$$
#ceq(d)
%bodynote
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** 3次元極座標系における回転と計量の分解 [#vcb2db62]
;,3次元極座標系に対しても同様に考察すると、
;,ヤコビアンを頑張って計算すれば、
$$
\left|\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}\right|
$ = $ r^2\sin\theta
$$
を得られて、
;,置換積分は$$ dx $ dy $ dz $ = $ r^2 $ \sin\theta $ dr $...
;,類推から$$ dr $$と$$ r $ d\theta $$と$$ r $ \sin\theta ...
;,各次元の帳尻合わせと解釈できる。
;,特に$$ \phi $$方向の計量は、$$ r $$に依存するのみならず...
;,同じ半径$$ r $$の球面上における異なる$$ \theta $$の円周...
;,すると、2次元と同様に回転と計量を分離できる:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
$=
$\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\...
\sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\...
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 ...
}
$$
#ceq(e)
$$
\phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
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\sin\theta\, \cos\phi & \cos\theta\, \cos\phi & -\si...
\sin\theta\, \sin\phi & \cos\theta\, \sin\phi & \co...
\cos\theta & -\sin\theta & 0 ...
}
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}
$$
#ceq(d)
;,2列目から$$ r $$を、3列目から$$ r $ \sin\theta $$を抜...
;,
$$
\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & \cos\theta\, \cos\phi & -\si...
\sin\theta\, \sin\phi & \cos\theta\, \sin\phi & \co...
\cos\theta & -\sin\theta & 0 ...
}
$$
が3次元の回転を表すが、
;,3次元回転が2回の2次元回転で合成できる事実は古くから...
;,3次元回転を2次元回転に分解したのが冒頭に示した因数分...
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
$=
$\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\...
\sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\...
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 ...
}
$$
#ceq(e)
$$
\phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
$=
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}
$\arrs[ccc]{
1 & 0 & 0 \\
0 & r & 0 \\
0 & 0 & r\sin\theta \\
}
$$
#ceq(d)
;,特に最初の
$$
$\arrs[ccc]{
\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
}
$$
が、2次元回転の
$$
$\arrs[cc]{
\cos\phi & -\sin\phi \\
\sin\phi & \cos\phi \\
}
$$
と全く同じである。
;,共に$$ x $$軸と$$ y $$軸の両方に直な方向を軸に、$$ x $$...
;,簡単なため、これを「$$ x $$軸を$$ y $$軸に回した回転」...
;,2番目の行列である
$$
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\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
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\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
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$$
は3行目を1行目に、1行目を2行目に置換すれば、
;,これまた2次元の回転と同じ形になる。
;,つまり、$$ z $$→$$ x $$、$$ x $$→$$ y $$に置換すれば、$...
;,逆に言い方の方を置換すれば、「$$ z $$軸を$$ x $$軸に回...
;,すなわち、共に$$ z $$軸と$$ x $$軸の両方に直な方向を軸...
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xu基底系.png
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xu座標系.png
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x座標系.png
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2ApplePlate.png
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Apple.png
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符号判定Ax(BxC).png
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PerpPerp.png
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BxC.png
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AxBxC+-.png
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Ax(BxC).png
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Ax(BxC)+-.png
403件
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原子半径の温度変化.jpg
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密度の温度変化.jpg
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添字付き関数名.png
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添字式.png
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根号式.png
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現在中国語乗算因数の命名.jpg
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現在中国語乗算演算子読み.jpg
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ベクトル除算.png
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基底除算.png
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立方体.jpg
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中2文教P12図.PNG
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ffd_p_q_2d.gif
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ffd_p_q.gif
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Ouv.png
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1cosIsinMap.png
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正弦減法.png
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yeqaplx3.png
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dyfrdceqtan.png
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F対xの微分商.png
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微小座標系.png
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