$$ C $$は$$ x $$の定数 EditToHeaderToFooter

$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、$$ f $$が$$ x $$の関数でないときは何も書けないのが世の不思議。

関数でない＝関係がない、だから書くことがない、と思ってはいけない。関数でない＝定数である、という立派な関係が成り立つ。しかし、$$ C $$は$$ x $$の定数という表記法も無い。現に積分定数を上手く表記できず、多変数関数の不定積分で混乱が起きる。

不定積分では積分定数という任意定数が現れる。１変数の場合、$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$。$$ F $$は$$ f $$の原始関数で、$$ C $$が積分定数。これの２変数版は$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$。$$ g(y) $$は積分定数だが、任意関数とか、$$ y $$だけの関数とかのように教えられたりする。実際に関数の姿をしているから余計に混乱する。

積分定数とは何か、云々以前に、定数とは何かの問題である。結論から言うと、この$$ g(y) $$は$$ x $$の積分定数であると同時に、$$ y $$の関数である（かもしれない）。

ここで、混乱の元は２つ。

  • $$ g(y) $$は$$ g $$が$$ x $$の定数であることを表せてない。
  • $$ g $$が$$ y $$だけの関数でないかもしれないのに表に出している。

では、$$ C $$が$$ x $$の定数であることを$$ C \overline{(x)} $$と定義したらどうなるか。

  • 一変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y}= F(x) \phantom{,y}+ C \overline{(x)} $$
  • 多変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$

まとめると$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$。$$ x $$で積分したら$$ x $$の積分定数が現る。$$ x $$で積分するから、$$ x $$だけに集中してれば十分。それ以外の変数に神経を使う必要はない。
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