/出合い算
%indent
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* 例題 [#c1f12f02]
二つの列車AとBは 300km 離れていて、
列車 A は 70km/h で南に，列車 B は 80km/h で北に向かっている。
列車 A と列車 B の間を鳥 C が 120km/h で飛んでいる。
この鳥は現在，中間地点 P に居り，列車 A に向かって飛んでいる。
列車 A に辿り着いたら列車 B に向かい、
列車 B に着いたら列車 A に向かうことを繰り返している。
列車 A と列車 B が出合うまでに、鳥 C が移動する距離を求めよう。
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* 算数の解き方 [#t3c1ce4a]
算数で解く場合、設問より
#ceq(e)
Ａの速度： $$ V_A $$＝−70 km/h
#ceq(e)
Ｂの速度： $$ V_B $$＝＋80 km/h
#ceq(e)
相対距離： $$ L $$ ＝300 km
#ceq(e)
Ｃの速度： $$ V_C $$＝120 km/h
#ceq(end)
ここから、
#ceq(e)
相対速度： $$ V $$＝|$$ V_A $$−$$ V_B $$|＝150 km/h
#ceq(e)
出合時間： $$ T $$＝$$ L $$/$$ V $$＝2 h
#ceq(e)
飛行距離： $$ X $$＝$$ V_C $$・$$ T $$＝240 km
#ceq(end)
よって、答え：240 km。
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* 数値計算の解き方 [#db05c4ab]
この問題を代数で考えると図１のようになる。
|*図１：時空間図 |
|&attachref(./出合い算01.png,30%,left,around);|
時間と位置のグラフを時空間図というが、横軸が時間の進み、縦軸が位置になる。
移動した軌跡が線として現われる。図１では A と B を青い線、C を赤い線で表している。
また、速さは向きと合わせて速度として軌跡線の傾きとして現われる。
図１では、時間は進む向きを正、位置には北を正としている。
B の居る場所を基準にすると、$$ B $$＝0km、$$ A $$＝300km、$$ C $$＝150km になる。
速度は、Aが$$ V_A $$＝−75km/h、Bが$$ V_B $$＝＋80km/h、Cが$$ V_C $$＝±120km/h となる。
特に C は速さが同じでも、AやBに出合う度に向きを逆転するため、速度は＋120km/hのときと−120km/hのときに分かれる。
しかし、向きも合わせて$$ V_C $$と置き、計算するときに値を変えるのが代数のヤリ方である。
そして、A、B、Cが動きだし、
C が A に出合うまでの時間を$$ T_0 $$、その時Aの位置を$$ A_0 $$、Bの位置を$$ B_0 $$として、
さらに動き続け、
C が B に出合うまでの時間を$$ T_1 $$、その時Aの位置を$$ A_1 $$、Bの位置を$$ B_1 $$として、
A と B が出合うまで鳥 C を追い続けば、答えが求まる。
具体的に、$$ A $$、$$ C $$、$$ V_A $$、$$ V_C $$から$$ T_0 $$が$$ T_0 $ = $ -\ffd{A - C}{V_A - V_C} $$として求まる。
そのとき、
$$ A_0 $ = $ A $ + $ V_A $ T_0 $$、
$$ B_0 $ = $ B $ + $ V_B $ T_0 $$で求まる。
また、Cの進む距離は$$ X_0 $ = $ |V_C \, T_0| $$と求まる。
今、鳥が$$ C $$から$$ A_0 $$に移り、今度は$$ B_0 $$に居るBに向かって進む。
このため、上の式に対し、$$ C $$⇒$$ A_0 $$、$$ A $$⇒$$ B_0 $$に置換して、同様に計算を進められる。
結果として、
$$ T_1 $ = $ -\ffd{B_0 - A_0}{V_B - V_C} $$、
$$ A_1 $ = $ A_0 $ + $ V_A $ T_1 $$、
$$ B_1 $ = $ B_0 $ + $ V_B $ T_1 $$、
$$ X_1 $ = $ | V_C \, T_1 | $$。
同様に、
$$ T_2 $ = $ -\ffd{A_1 - B_1}{V_A - V_C} $$、
$$ A_2 $ = $ A_1 $ + $ V_A $ T_2 $$、
$$ B_2 $ = $ B_1 $ + $ V_B $ T_2 $$、
$$ X_2 $ = $ | V_C \, T_2 | $$。
計算結果を表にすると次のようになる：
| | | |r: |r: |r: | |c
|$$ i $$|$$ V_C $$ |$$ T_i $$ |$$ A_i $$ |$$ B_i $$ |$$ X_i $$ |$$ \Sigma\,X_i $$|c:bg#EEE:
|## 0 ##|## +120 km/h ##|## 0.789 h ##|## 244.737 km ##|## 63.158 km ##|## 94.737 km ##|## 94.737 km ## |
|## 1 ##|## -120 km/h ##|## 0.908 h ##|## 181.184 km ##|## 135.789 km ##|## 108.974 km ##|## 203.684 km ## |
|## 2 ##|## +120 km/h ##|## 0.239 h ##|## 164.460 km ##|## 154.903 km ##|## 28.670 km ##|## 232.355 km ## |
|## 3 ##|## -120 km/h ##|## 0.048 h ##|## 161.115 km ##|## 158.726 km ##|## 5.734 km ##|## 238.089 km ## |
|## 4 ##|## +120 km/h ##|## 0.013 h ##|## 160.235 km ##|## 159.732 km ##|## 1.509 km ##|## 239.598 km ## |
|## 5 ##|## -120 km/h ##|## 0.003 h ##|## 160.059 km ##|## 159.933 km ##|## 0.301 km ##|## 239.899 km ## |
|… |… |… |… |… |… |… |c:
一番右の$$ \Sigma\,X_i $$は$$ X_0 $$から$$ X_i $$までの合計で、今回の求める答えである。
しかし、段々と答えの 240km に近づいていくものの、毎回近づける量$$ X_i $$も段々小さくなって、中々240kmにはならない。
もっとも、AとBが出合って$$ A_i $$＝$$ B_i $$になることもなく、計算自体が終わらない。
実際、$$ \Sigma\,X_i $$はこの後 239.979 ⇒ 239.995 ⇒ 239.999 ⇒ と永遠に続く。
図で言うと、
赤い折れ線はAとBの軌跡の間をずっと往復するが、
AとBが出合う青い線の交点にピタッと辿り付くことが無く、往復が終わらない。
この方法は数値計算と呼ばれて、問題が複雑すぎて簡単に計算できないときに使われる。
この場合、十分の桁数を計算したら計算を打ち切り、近似値で答えることになるが、
例えば、5回目で打ち切る場合、必要な桁数に応じて 239.899 km、239.900、239.90 または 240 などで答えることになる。
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* 算数の解き方の時空間図 [#s3d7e18d]
では、最初にやった算数の時空間図を考えてみよう。
|*図２：時空間図（算数版） |
|&attachref(./出合い算02.png,30%,left,around);|
AとBがそれぞれ$$ A $$と$$ B $$から出発し、速度$$ V_A $$と$$ V_B $$で走り、時間$$ T $$の後で出合う。
ここまでは普通であるが、問題は速さの扱いである。
速さは速度の絶対値であり、$$ V_C $$が＋120kmのときも−120kmのときも120kmのままである。
このため、赤い実線が折れ曲がり、−120kmで右下に向かって進むとき、
赤い点線のように無理やり＋120kmとして進ませば、
$$ T $$になるまで進んだ距離が答えの$$ X $$になる。
さらに、点線はずっと同じ速度＋120km/hで進むため、
$$ X $$は$$ V_C $$と$$ T $$の単純乗算で求まる。
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//$$ \iro[ao]{A} $$
//$$ \iro[ao]{B} $$
//$$ \iro[ak]{C} $$
//$$ \iro[ao]{V_A} $$
//$$ \iro[ao]{V_B} $$
//$$ \iro[ak]{V_C} $$
//$$ \iro[ao]{L} $$
//$$ \iro[ak]{X} $$
//$$ \iro[md]{T} $$
//$$ \iro[ao]{A_0} $$
//$$ \iro[ao]{B_0} $$
//$$ \iro[ak]{C_0} $$
//$$ \iro[md]{T_0} $$
//$$ \iro[ao]{A_1} $$
//$$ \iro[ao]{B_1} $$
//$$ \iro[ak]{C_1} $$
//$$ \iro[md]{T_1} $$
//
//$$ \iro[ao]{X} $$
//$$ \iro[ao]{Y} $$
//$$ \iro[ao]{Z} $$
//
//
//
//$$ \iro[ao]{\Dl X} $$
//$$ \iro[ao]{\Dl Y} $$
//$$ \iro[md]{\Dl T} $$
//$$ \iro[md]{\Dl T_X} $$
//$$ \iro[md]{\Dl T_Y} $$
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