猫式/ベクトル微分演算子 のバックアップ(No.1) |
をベクトルで微分ベクトル微分演算には勾配、回転、発散があり、表記は名前を略した、、と、ナブラを使った「」、「」、「」の二系統がある。ナブラを使った系統では、ベクトル演算子に対して通常のベクトル公式を適用できるため、ベクトル微分のために新たに公式を覚える必要が無い。 しかし、はベクトルとして強力でも、ベクトルと微分が分離されてないのが残念。というわけで、猫式では「」を「」と定義し、でベクトルを示し、で微分対象を示すことで、ベクトル微分の形式的な分離を実現。
分数形:勾配を含む連鎖則がスカラの場合、に対するが連鎖則。 がベクトルの場合、に対するがこれに該当する。ナブラを使っても。 これを分数形で書けば、に対する。スカラの積がスカラ内積になることを除けば、連鎖則の姿がそのまま生き残る。また、約分の感覚で式を形式的に扱うことも可能。 分離形:勾配対外積の分配則外積勾配の公式: ナブラを使う場合、微分対積の分配則とスカラー三重積の交換則で計算可能。ただし、計算途中で作用対象が離れるため、工夫が必要。 一方、分離形表記では次のように記述可能。 |