$$ F $$をベクトル$$ \b r $$で微分 EditToHeaderToFooter

ベクトル微分演算には勾配、回転、発散があり、表記は名前を略した$$ \grad $$、$$ \rot $$、$$ \diver $$と、ナブラを使った「$$ \nabla $$」、「$$ \nabla \vx $$」、「$$ \nabla \sx $$」の二系統がある。ナブラを使った系統では、ベクトル演算子に対して通常のベクトル公式を適用できるため、ベクトル微分のために新たに公式を覚える必要が無い。

しかし、$$ \nabla $$はベクトルとして強力でも、ベクトルと微分が分離されてないのが残念。というわけで、猫式では「$$ \nabla $$」を「$$ \ddd{}{\b r} $$」と定義し、$$ \ffd{1}{d \b r} $$でベクトルを示し、$$ d $$で微分対象を示すことで、ベクトル微分の形式的な分離を実現。

流派勾配回転発散
名前$$ \grad F $$$$ \rot \b F $$$$ \diver \b F $$
ナブラ$$ \nabla F $$$$ \nabla \vx \b F $$$$ \nabla \sx \b F $$
猫式分数形$$ \ddd{F}{\b r} $$$$ \ddd{\,\vx \b F}{\b r} $$$$ \ddd{\, \sx \b F}{\b r} $$
演算子形$$ \ddd{}{\b r}F $$$$ \ddd{}{\b r}\vx \b F $$$$ \ddd{}{\b r}\sx \b F $$
分離形$$ \ffd{1}{d \b r} dF $$$$ \ffd{1}{d \b r}\vx d \b F $$$$ \ffd{1}{d \b r}\sx d \b F $$

分数形：勾配を含む連鎖則 EditToHeaderToFooter

$$ r $$がスカラの場合、$$ F(r(t)) $$に対する$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{r} \ddd{r}{t} $$が連鎖則。

$$ \b r $$がベクトルの場合、$$ F(\b r(t)) $$に対する$$ \ddd{F}{t} = \grad F \sx \ddd{r}{t} $$がこれに該当する。ナブラを使っても$$ \ddd{F}{t} = \nabla F \sx \ddd{\b r}{t} $$。

これを分数形で書けば、$$ F(\b r(t)) $$に対する$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{\b r} \sx \ddd{\b r}{t} $$。スカラの積がスカラ内積になることを除けば、連鎖則の姿がそのまま生き残る。また、約分の感覚で式を形式的に扱うことも可能。

分離形：勾配対外積の分配則 EditToHeaderToFooter

外積勾配の公式：$$ \grad(\b F \vx \b G) = \b G \sx (\rot \b F) - \b F \sx (\rot \b G) $$

ナブラを使う場合、微分対積の分配則とスカラー三重積の交換則で計算可能。ただし、計算途中で作用対象が離れるため、工夫が必要。
$$ \phantom{=} \,\, \nabla \sx (\b F \vx \b G) \vphantom{\Big[} $$　
$$ = \, \mspace{2mu }\overbracket{\mspace{-5mu } \nabla \sx (\b F \vx \b G) \mspace{-43mu }}\mspace{43mu } + \,\, \mspace{2mu }\overbracket{\mspace{-5mu } \nabla \sx (\b F \vx \b G) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu } \vphantom{\Big[} $$　　　　// 微分対乗算の分配則
$$ = \b G \sx (\nabla \vx \b F) + \, \mspace{30mu }\overbracket{\mspace{-33mu } \b F \sx (\b G \vx \nabla) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu } \vphantom{\Big[} $$　　　　// スカラ三重積の交換則
$$ = \b G \sx (\nabla \vx \b F) - \b F \sx (\nabla \vx \b G) \vphantom{\Big[} $$　　　　// クロス外積の交代則

一方、分離形表記では次のように記述可能。
$$ \phantom{=} \, \ffd{1}{d \b r} \sx d(\b F \vx \b G) $$　
$$ = \ffd{1}{d \b r} \sx (d \b F \vx \b G) + \ffd{1}{d \b r} \sx (\b F \vx d \b G) $$　　　　// 微分対乗算の分配則
$$ = \b G \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b F) + \b F \sx (d \b G \vx \ffd{1}{d \b r}) $$　　　　// スカラ三重積の交換則
$$ = \b G \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b F) - \b F \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b G) $$　　　　// クロス外積の交代則
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