猫式/ベクトル微分演算子 のバックアップの現在との差分(No.2)

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  • 2 (2010.0918 (土) 2217.1300)
  • 3 (2010.0919 (日) 0748.0600)
  • 4 (2010.1109 (火) 0244.0100)
  • 5 (2010.1115 (月) 2000.1200)

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TITLE:ベクトル微分演算子
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* $$ F $$をベクトル$$ \b r $$で微分 [#nb6b6566]

ベクトル微分演算には勾配、回転、発散があり、
表記は名前を略した$$ \grad $$、$$ \rot $$、$$ \diver $$と、
ナブラを使った「$$ \nabla $$」、「$$ \nabla \vx $$」、「$$ \nabla \sx $$」の二系統がある。
ナブラを使った系統では、
ベクトル演算子に対して通常のベクトル公式を適用できるため、
ベクトル微分のために新たに公式を覚える必要が無い。

しかし、$$ \nabla $$はベクトルとして強力でも、ベクトルと微分が分離されてないのが残念。
というわけで、猫式では「$$ \nabla $$」を「$$ \ddd{}{\b r} $$」と定義し、
$$ \ffd{1}{d \b r} $$でベクトルを示し、$$ d $$で微分対象を示すことで、ベクトル微分の形式的な分離を実現。

|CENTER:|CENTER: |CENTER:                 |CENTER:                        |CENTER:                        |c
|*流派  |<       |*勾配                   |*回転                          |*発散                          |
|名前   |<       |$$ \grad  F           $$|$$ \rot       \b F           $$|$$ \diver     \b F           $$|
|ナブラ |<       |$$ \nabla F           $$|$$ \nabla \vx \b F           $$|$$ \nabla \sx \b F           $$|
|猫式   |分数形  |$$ \ddd{F}{\b r}      $$|$$ \ddd{\,\vx \b F}{\b r}    $$|$$ \ddd{\, \sx \b F}{\b r}   $$|
|^      |演算子形|$$ \ddd{}{\b r}F      $$|$$ \ddd{}{\b r}\vx \b F      $$|$$ \ddd{}{\b r}\sx \b F      $$|
|^      |分離形  |$$ \ffd{1}{d \b r} dF $$|$$ \ffd{1}{d \b r}\vx d \b F $$|$$ \ffd{1}{d \b r}\sx d \b F $$|

* 分数形：勾配を含む連鎖則 [#ae17ca19]

$$ r $$がスカラの場合、$$ F(r(t)) $$に対する$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{r} \ddd{r}{t} $$が連鎖則。

$$ \b r $$がベクトルの場合、$$ F(\b r(t)) $$に対する$$ \ddd{F}{t} = \grad F \sx \ddd{r}{t} $$がこれに該当する。
ナブラを使っても$$ \ddd{F}{t} = \nabla F \sx \ddd{\b r}{t} $$。

これを分数形で書けば、$$ F(\b r(t)) $$に対する$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{\b r} \sx \ddd{\b r}{t} $$。
スカラの積がスカラ内積になることを除けば、連鎖則の姿がそのまま生き残る。
また、約分の感覚で式を形式的に扱うことも可能。

* 分離形：勾配対外積の分配則 [#f34c4419]

外積勾配の公式：$$ \grad(\b F \vx \b G) = \b G \sx (\rot \b F) - \b F \sx (\rot \b G) $$

ナブラを使う場合、微分対積の分配則とスカラー三重積の交換則で計算可能。
ただし、計算途中で作用対象が離れるため、工夫が必要。~
$$
 \phantom{=} \,\, \nabla \sx (\b F \vx \b G)
 \vphantom{\Big[}
$$
　~
$$
 = \,   \mspace{2mu   }\overbracket{\mspace{-5mu   } \nabla \sx (\b F \vx \b G) \mspace{-43mu }}\mspace{43mu }
 + \,\, \mspace{2mu   }\overbracket{\mspace{-5mu   } \nabla \sx (\b F \vx \b G) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu }
 \vphantom{\Big[}
$$
　　　　// 微分対乗算の分配則~
$$
 =                                                   \b G \sx (\nabla \vx \b F)                               
 + \,   \mspace{30mu  }\overbracket{\mspace{-33mu  } \b F \sx (\b G \vx \nabla) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu }
 \vphantom{\Big[}
$$
　　　　// スカラ三重積の交換則~
$$
 = \b G \sx (\nabla \vx \b F)
 - \b F \sx (\nabla \vx \b G)
 \vphantom{\Big[}
$$
　　　　// クロス外積の交代則

一方、分離形表記では次のように記述可能。~
$$
  \phantom{=} \, \ffd{1}{d \b r} \sx d(\b F \vx \b G)
$$
　~
$$
 = \ffd{1}{d \b r} \sx (d \b F \vx \b G) + \ffd{1}{d \b r} \sx (\b F \vx d \b G)
$$
　　　　// 微分対乗算の分配則~
$$
 = \b G \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b F) + \b F \sx (d \b G \vx \ffd{1}{d \b r})
$$
　　　　// スカラ三重積の交換則~
$$
 = \b G \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b F) - \b F \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b G)
$$
　　　　// クロス外積の交代則~