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TITLE:ベクトル微分演算子
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* $$ F $$をベクトル$$ \b r $$で微分 [#nb6b6566]
ベクトル微分演算には勾配、回転、発散があり、
ベクトル表記は主に、
名前を略した文字名の$$ \grad $$、$$ \rot $$、$$ \diver $$と、
ナブラを使った「$$ \nabla $$」、「$$ \nabla \vx $$」、「$$ \nabla \sx $$」の二系統。
ナブラを使った系統では、
ベクトル演算子に対して通常のベクトル公式を適用できるため、新たに公式を覚える必要が無い。
しかし、$$ \nabla $$はベクトルとして強力でも、ベクトルと微分が分離されてないため、公式導出の際に不便が生じる。
ベクトル計算ではベクトルの配置は法則に従って決められるため、常に微分対象の前に配置できるとは限らない。
このため、猫式では「$$ \nabla $$」を「$$ \ddd{}{\b r} $$」と定義し、
$$ \ffd{1}{d \b r} $$でベクトルを示し、$$ d $$で微分対象を示すことで、ベクトル微分の形式的な分離を実現。
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|*流派 |< |*勾配 |*回転 |*発散 |
|文字名 |< |$$ \grad F $$|$$ \rot \b F $$|$$ \diver \b F $$|
|ナブラ |< |$$ \nabla F $$|$$ \nabla \vx \b F $$|$$ \nabla \sx \b F $$|
|猫式 |分数形 |$$ \ddd{F}{\b r} $$|$$ \ddd{\,\vx \b F}{\b r} $$|$$ \ddd{\, \sx \b F}{\b r} $$|
|^ |演算子形|$$ \ddd{}{\b r}F $$|$$ \ddd{}{\b r}\vx \b F $$|$$ \ddd{}{\b r}\sx \b F $$|
|^ |分離形 |$$ \ffd{1}{d \b r} dF $$|$$ \ffd{1}{d \b r}\vx d \b F $$|$$ \ffd{1}{d \b r}\sx d \b F $$|
* 分数形:勾配を含む連鎖則 [#ae17ca19]
$$ r $$がスカラの場合、$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{r} \ddd{r}{t} $$が$$ F(r(t)) $$に対する連鎖則。
分数形で記述する場合、あくまでも形式的だが、約分の感覚で直観的に式変形できる。
$$ \b r $$がベクトルの場合、$$ \ddd{F}{t} = \grad F \sx \ddd{r}{t} $$が$$ F(\b r(t)) $$に対する連鎖則。
ナブラを使っても$$ \ddd{F}{t} = \nabla F \sx \ddd{\b r}{t} $$。
微分に関しては、文字名もナブラも表現力に差はない。
猫式分数形で書けば、$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{\b r} \sx \ddd{\b r}{t} $$になる。
スカラの積がスカラ内積になることを除けば、連鎖則の姿がそのまま生き残り、式を直観的に操作できる。
* 分離形:勾配対外積の分配則 [#f34c4419]
外積勾配の公式:$$ \grad(\b F \vx \b G) = \b G \sx (\rot \b F) - \b F \sx (\rot \b G) $$
ナブラを使う場合、微分対積の分配則とスカラー三重積の交換則で計算可能。
ただし、計算途中で作用対象が離れるため、工夫が必要。~
$$
\phantom{=} \,\, \nabla \sx (\b F \vx \b G)
\vphantom{\Big[}
$$
~
$$
= \, \mspace{2mu }\overbracket{\mspace{-5mu } \nabla \sx (\b F \vx \b G) \mspace{-43mu }}\mspace{43mu }
+ \,\, \mspace{2mu }\overbracket{\mspace{-5mu } \nabla \sx (\b F \vx \b G) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu }
\vphantom{\Big[}
$$
// 微分対乗算の分配則~
$$
= \b G \sx (\nabla \vx \b F)
+ \, \mspace{30mu }\overbracket{\mspace{-33mu } \b F \sx (\b G \vx \nabla) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu }
\vphantom{\Big[}
$$
// スカラ三重積の交換則~
$$
= \b G \sx (\nabla \vx \b F)
- \b F \sx (\nabla \vx \b G)
\vphantom{\Big[}
$$
// クロス外積の交代則
一方、分離形表記では次のように記述可能。~
$$
\phantom{=} \, \ffd{1}{d \b r} \sx d(\b F \vx \b G)
$$
~
$$
= \ffd{1}{d \b r} \sx (d \b F \vx \b G) + \ffd{1}{d \b r} \sx (\b F \vx d \b G)
$$
// 微分対乗算の分配則~
$$
= \b G \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b F) + \b F \sx (d \b G \vx \ffd{1}{d \b r})
$$
// スカラ三重積の交換則~
$$
= \b G \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b F) - \b F \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b G)
$$
// クロス外積の交代則~
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* コメント [#l6dcb7af]
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