基底成分表記のバックアップ(No.2) < 猫式

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混合基底

ベクトルの成分表記には主に、成分と基底の線形結合 $F_x \b e_x + F_y \b e_y + F_z \b e_z$ 、成分のみを並べた列ベクトル $\arrs{ F_x \\ F_y \\ F_z }$ 、１成分までに略した総和規約 $$ F_i $$ がある。

例えば、ストークスの定理を線形結合で記述すると $\inte[R] \, (F_x \b e_x + F_y \b e_y + F_z \b e_z) \sx (dx \,\b e_x + dy \,\b e_y + dz \,\b e_z)$ ＝ $\inte[S] \left(\ppd{}{x} \b e_x + \ppd{}{y} \b e_y + \ppd{}{z} \b e_z \right) \vx (F_x \b e_x + F_y \b e_y + F_z \b e_z) \sx (dydz \,\b e_x + dzdx \,\b e_y + dxdy \,\b e_z)$ のようになる。式には通常空間の広がりを表す基底 $\b e_x$ 、 $\b e_y$ 、 $\b e_z$ と微小空間の広がりを表す基底 $$ dx $$ 、 $$ dy $$ 、 $$ dz $$ の２系統のベクトル基底が混在しており、両系統を同時に扱う必要がある。

しかし、線形結合は例のように式が長くなるため、成分間、基底間の対応関係が追いにくい。また、他の省略記法も基底を省くため、基底間の対応関係が直感的に分かりにくい。このため、基底と成分を全て書き出しながらも、対応関係が分かる表記法が必要。

基底成分表記

猫式では、ベクトルを $\arrb{ \b e_x & F_x \\ \b e_y & F_y \\ \b e_z & F_z }$ のように表記。可読性の良い列ベクトルを拡張し、成分に対応する基底を縦線の左側に明記。

値は $F_x \b e_x + F_y \b e_y + F_z \b e_z$ のように、各基底と成分の倍積のベクトル和とする。基底と成分の位置さえ対応していれば、 $\arrb[cc|cc]{ \b e_x & & F_x \\ \b e_y & \b e_t & F_y & F_t \\ \b e_z & & F_z }$ のような不規則な並びも許す。

混合基底の表記

通常空間の広がりを表す基底を幾何基底*1、微小空間の広がりを表す基底を幾何基底*2と、便宜的*3に呼ぶことにする。

例えば、ストークスの定理に登場する微小位置ベクトル $d\b r$ ＝ $dx \b e_x + dy \b e_y + dz \b e_z$ は、幾何基底について計算するときは $\arrb{ \b e_x & dx \\ \b e_y & dy \\ \b e_z & dz }$ と、逆に微小基底について計算するときは $\arrb{ dx & \b e_x \\ dy & \b e_y \\ dz & \b e_z }$ と表現できる。普通の演算は片方の基底にのみ作用し、他方の基底は成分同様に扱って良い。このため、必要に応じて注目する基底を明示的に入れ替えできる方が楽。

勿論、両方を同時に基底として扱う場合は、 $\arrb{ \b e_x\,dx & 1 \\ \b e_y\,dy & 1 \\ \b e_z\,dz & 1 }$ のように表現すれば良く、どれも基底と見なさない場合は $\arrb{ 1 & \b e_x\,dx \\ 1 & \b e_y\,dy \\ 1 & \b e_z\,dz }$ でも良い。

*1 幾何基底：命名は図形的な矢印のイメージが元であるため。
*2 微分基底：命名は微分形式の基底であるため。
*3 本音は違いを端的に表す「マクロ基底」と「ミクロ基底」と呼びたいが、「マクロ量」と「ミクロ量」の概念との混同を懸念し、とりあえず保留。

幾何基底の計算

以下では幾何基底の計算規則を示す。細かい計算は、線形結合表記と照らし合わせて計算し、最後に、結果だけをベクトル表記と照らし合わせる。

倍積

スカラは基底が１と見なせば、次のように表記できる。

$\arrb{\fracstrut\,1\,& A}$ $\arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z}$	$(A \times 1)$ $(B_x \b e_x + B_y \b e_y + B_z \b e_z)$
＝ $\arrb{1 \b e_x & A B_x \\ 1 \b e_y & A B_y \\ 1 \b e_z & A B_z}$	＝ $(A B_x \times 1 \b e_x + A B_y \times 1 \b e_y + A B_z \times 1 \b e_z)$ 規則１展開の要領で、基底と成分を別々に計算可能。
＝ $\arrb{\b e_x & A B_x \\ \b e_y & A B_y \\ \b e_z & A B_z}$	＝ $(A B_x \b e_x + A B_y \b e_y + A B_z \b e_z)$

結果として、基底１を略せば、直感的にスカラを各成分に分配できる。
$$ A $$ $\arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z}$ ＝ $\arrb{\b e_x & A B_x \\ \b e_y & A B_y \\ \b e_z & A B_z}$ $\Longleftrightarrow$ $$ A $$ $\arrs{B_x \\ B_y \\ B_z}$ ＝ $\arrs{A B_x \\ A B_y \\ A B_z}$

外積

$\arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z}$ $\vx$ $\arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z}$	$(A_x \b e_x + A_y \b e_y + A_z \b e_z)$ $\vx$ $(B_x \b e_x + B_y \b e_y + B_z \b e_z)$
＝ $\arrb[ccc\|ccc]{ \clr[rd]{\b e_x \vx \b e_x} & \clr[bl]{\b e_y \vx \b e_x} & \clr[bk]{\b e_z \vx \b e_x} & A_x B_x & A_y B_x & A_z B_x \\ \clr[bk]{\b e_x \vx \b e_y} & \clr[rd]{\b e_y \vx \b e_y} & \clr[bl]{\b e_z \vx \b e_y} & A_x B_y & A_y B_y & A_z B_y \\ \clr[bl]{\b e_x \vx \b e_z} & \clr[bk]{\b e_y \vx \b e_z} & \clr[rd]{\b e_z \vx \b e_z} & A_x B_z & A_y B_z & A_z B_z }$	$= A_x B_x \, \clr[rd]{\b e_x \vx \b e_x} + A_y B_x \, \clr[bl]{\b e_y \vx \b e_x} + A_z B_x \, \clr[bk]{\b e_z \vx \b e_x}$ $+ A_x B_y \, \clr[bk]{\b e_x \vx \b e_y} + A_y B_y \, \clr[rd]{\b e_y \vx \b e_y} + A_z B_y \, \clr[bl]{\b e_z \vx \b e_y}$ $+ A_x B_z \, \clr[bl]{\b e_x \vx \b e_z} + A_y B_z \, \clr[bk]{\b e_y \vx \b e_z} + A_z B_z \, \clr[rd]{\b e_z \vx \b e_z}$ 手順としては、とりあえず展開。

＝ $\arrb[rrr\|ccc]{ \phantom{\b e_x} & -\clr[bl]{\b e_z} & \clr[bk]{\b e_y} & \phantom{A_x B_x} & A_y B_x & A_z B_x \\ \clr[bk]{\b e_z} & \phantom{\b e_y} & -\clr[bl]{\b e_x} & A_x B_y & \phantom{A_y B_y} & A_z B_y \\ -\clr[bl]{\b e_y} & \clr[bk]{\b e_x} & \phantom{\b e_z} & A_x B_z & A_y B_z & \phantom{A_z B_z} }$ ＝ $\arrb[ccc\|rrr]{ \phantom{\b e_x} & \clr[bl]{\b e_z} & \clr[bk]{\b e_y} & \phantom{A_x B_x} & - A_y B_x & A_z B_x \\ \clr[bk]{\b e_z} & \phantom{\b e_y} & \clr[bl]{\b e_x} & A_x B_y & \phantom{A_y B_y} & - A_z B_y \\ \clr[bl]{\b e_y} & \clr[bk]{\b e_x} & \phantom{\b e_z} & - A_x B_z & A_y B_z & \phantom{A_z B_z} }$	$= \phantom{A_x B_x} \, \phantom{\b e_x} - A_y B_x \, \clr[bl]{\b e_z} + A_z B_x \, \clr[bk]{\b e_y}$ $+ A_x B_y \, \clr[bk]{\b e_z} \phantom{+ A_y B_y} \, \phantom{\b e_y} - A_z B_y \, \clr[bl]{\b e_x}$ $- A_x B_z \, \clr[bl]{\b e_y} + A_y B_z \, \clr[bk]{\b e_x} \phantom{+ A_z B_z} \, \phantom{\b e_z}$ これは線形結合では曖昧だが、厳密には基底計算と因数移動の２手。規則２因数は対応する基底と成分の間を移動可能。
＝ $\arrb{ \b e_x & A_y B_z - A_z B_y \\ \b e_y & A_z B_x - A_x B_z \\ \b e_z & A_x B_y - A_y B_x }$	$= (A_y B_z - A_z B_y) \b e_x$ $+ (A_z B_x - A_x B_z) \b e_y$ $+ (A_x B_y - A_y B_x) \b e_z$ 規則３基底が同じ成分は合併可能。

結果として、
$\arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z}$ $\vx$ $\arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z}$ ＝ $\arrb{ \b e_x & A_y B_z - A_z B_y \\ \b e_y & A_z B_x - A_x B_z \\ \b e_z & A_x B_y - A_y B_x }$ $\Longleftrightarrow$ $\arrs{A_x \\ A_y \\ A_z}$ $\vx$ $\arrs{B_x \\ B_y \\ B_z}$ ＝ $\arrs{ A_y B_z - A_z B_y \\ A_z B_x - A_x B_z \\ A_x B_y - A_y B_x }$
基底成分表記で覚えるなら、先に基底を埋め、輪環順で加算項を埋め、逆順で減算項を埋めると良い。
$\arrb{ \b e_{\clr[gr]{x}} & \phantom{ A_y B_z - A_z B_y } \\ \b e_{\clr[gr]{y}} & \phantom{ A_z B_x - A_x B_z } \\ \b e_{\clr[gr]{z}} & \phantom{ A_x B_y - A_y B_x } }$ ⇒ $\arrb{ \b e_{\clr[gr]{x}} & A_{\clr[gr]{y}} B_{\clr[gr]{z}} \phantom{ - A_z B_y } \\ \b e_{ y } & A_{ z } B_{ x } \phantom{ - A_x B_z } \\ \b e_{ z } & A_{ x } B_{ y } \phantom{ - A_y B_x } }$ ⇒ $\arrb{ \b e_{\clr[gr]{x}} & A_y B_z - A_{\clr[gr]{z}} B_{\clr[gr]{y}} \\ \b e_{ y } & A_z B_x - A_{ x } B_{ z } \\ \b e_{ z } & A_x B_y - A_{ y } B_{ x } }$

内積

内積は外積と手順が同じのため、結果だけを示す。
$\arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z}$ $\sx$ $\arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z}$ ＝ $\arrb{ \fracstrut\,1\,& A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z}$ $\Longleftrightarrow$ $\arrs{A_x \\ A_y \\ A_z}$ $\sx$ $\arrs{B_x \\ B_y \\ B_z}$ ＝ $$ A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z $$

微分基底の計算

微分基底の乗算はウェッジ積と呼ばれる拡張された外積に統一されるている。普通はウェッジ記号「 $\wx$ 」で常に表記されるが、猫式では互換性を考え、省略可能とする。代わりに、微分基底間の乗算は常に外積規則が適応され、交換不可とする。

手順は幾何基底の外積演算と全く同じのため、結果のみを示す。

１次形式 $\wx$ ０次形式: 幾何基底の倍積に相当。微分基底の倍積でもある。 $\arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z}$ $\wx$ ＝ $\arrb{dx & A_xB \\ dy & A_yB \\ dz & A_zB }$

１次形式 $\wx$ １次形式: 幾何基底の外積に相当。 $\arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z}$ $\wx$ $\arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z}$ ＝ $\arrb{ \b dydz & A_y B_z - A_z B_y \\ \b dzdx & A_z B_x - A_x B_z \\ \b dxdy & A_x B_y - A_y B_x }$

１次形式 $\wx$ ２次形式: 幾何基底の内積に相当。微分基底の内積でもある。 $\arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z}$ $\wx$ $\arrb{ \b dydz & B_{yz} \\ \b dzdx & B_{zx} \\ \b dxdy & B_{xy} }$ ＝ $\arrb{ \fracstrut dxdydz\,& A_x B_{yz} + A_y B_{zx} + A_z B_{xy}}$

インチキ規則の正体

ベクトル積分演算子のところで、微小量に対する計算では減算項を抜くインチキ規則を導入した。実は、その意味は１次形式 $\wx$ １次形式の右辺にある。注目すべき点は、基底側と成分側の非対称性である。

まず、成分側は幾何基底の外積の成分側と一致する。このため、通常のベクトル計算は成分側の計算と言える。次ぎに、基底側には減算項が無く、成分側の計算と異なっている。通常のベクトル計算をしようとしても、微分基底が成分側になく、別の計算となっているため、当然失敗する。

一方で、加算項と基底は常に対応しているため、成分側として計算した結果から減算項を消すだけで、基底側の計算になる。後付けではあるが、これがインチキ規則の真の意味である。

また、倍積と内積の演算には元から減算項が現れないため、インチキするまでもない。したがって、通常のベクトル演算で上手く処理できないのは微分基底間の外積のみと言える。

ベクトル置換積分

……

ベクトル記号を用いた便宜表記

……

まとめ・つなぎ

……

$d^1\b r$ 、 $d^2\b S$ 、 $$ d^3 V $$ がそれぞれ、微分形式の１次形式、２次形式、３次形式の微分基底に対応している。１、２、３と並んだら、０を考えるのが猫式。線積分、面積分、体積分も同様、線、面、体と並んだら、点を考えるべし。というわけで、次回、 $$ d^0 $$ ──「点積分」。

猫式/基底成分表記 のバックアップ(No.2)