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/加法定理
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* 加法定理 [#n22da2d4]
加法定理は、加減算の三角関数を三角関数の積に分解する公式。
三角関数は指数関数の仲間であり、加法定理は指数法則の１つに相当する。
三角関数が$$ \csin $$か$$ \ccos $$のどちらかで未定であることを$$ \ctri $$と表記すると、
加法定理を指数法則と似た形で書ける：
#ceq(e)
指数法則： $$ \exp(\alpha + \beta) = \exp(\alpha) \, \exp(\beta) $$
#ceq(q)
$$ (e^{\alpha + \beta} = e^\alpha \, e^\beta) $$
#ceq(e)
加法定理： $$ \spc{\ctri}{\exp}(\alpha \pm \beta) $ \Rightarrow $ \spc{\ctri}{\!\exp}(\alpha) \, \spc{\ctri}{\exp}(\beta) $$
#ceq(end)
要は、加法が乗法になるのが$$ \csin $$と$$ \ccos $$((三角公式なんかよりこのような性質を覚える方が遥かに重要))。
等号ではないのは、符号や係数、定数項などを省略しているため。
そこで、式の左辺がそれぞれ
$$ \csin(\alpha + \beta) $$、
$$ \csin(\alpha - \beta) $$、
$$ \ccos(\alpha + \beta) $$、
$$ \ccos(\alpha - \beta) $$の場合について、等号が成立するように右辺を決めて行くのが組立の仕事。
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''1. 正弦合わせ''
組立は$$ \ctri $$の決定から始める。
三角関数は三角公式の骨組みのようなもので、これが決まらないと何も決まらない。
猫式では、個々の項に対し、乗算している$$ \csin $$の数をその項の''正弦数''と定義する。
加法定理の右辺にある$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$には未定表記が2つあるため、組み合せは2×2＝4通り。
それぞれの正弦数は次のようになる：
#ceq(e)
$$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$ ── ０個 ── 偶数
&br;$$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$ ── １個 ── 奇数
&br;$$ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ ── １個 ── 奇数
&br;$$ \csin \alpha $ \csin \beta $$ ── ２個 ── 偶数
#ceq(end)
正弦数に関して次の組立規則が成り立つ：
#ceq(e)
''正弦陰性則： $$ \csin $$が２つ掛け合わせる毎に、項の前に「$$ \iro[ak]- $$」が１つ増える''
#ceq(e)
''正弦奇偶則： 等式の各項において、正弦数は「全て奇数」または「全て偶数」''
#ceq(end)
これらは猫式組立の真髄である。
説明するには、大学で習う知識が必要になるため、後回し。
ともかく、これらの規則を適応すると、負号が１つ現れ、右辺はそれぞれ２組ずつ絞られる：
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \pm \beta) $$ ── 奇数 ── $$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$、$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$、$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)
これは、指数法則では$$ e $$しかないため、右辺は$$ e^\alpha \, e^\beta $$の１通りに決まるが、
三角関数の場合は$$ \csin $$と$$ \ccos $$があるため、組合せは１通りに決まらないと考える程度で良い。
問題は２組の候補から左辺に来るべき１つの値を作り出す方法である。
結論から言えば、単純に加算で繋げて積和形にすれば良い
((和積公式でも同じ状況になるが積和形にはしない。それとの区別には補足を参考。))。
ここまでの作業で次の形になる：
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \pm \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ + $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \iro[ak]- $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)
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''2. 符号合わせ''
続けて、式に残る符号を決める。
一般に、数式では「$$ + $$」が普通であり、「$$ \iro[ak]- $$」になるには理由が必要。
実は、加法定理の中、左辺に減算の無い次の２式は既に出来上がっている。
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ + $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ - $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)
残りの２式では、$$ \beta $$の符号が「$$ \iro[ak]- $$」に反転するため、右辺でも符号反転が起こる。
結果的に、右辺でも$$ \beta $$を$$ -\beta $$に置き換えて、符号を計算することになるが、
計算をしない猫式では次の簡易方法を用いる：
三角公式では、
$$ \ccos $$が$$ \ccos(\iro[ak]- \beta) $ = $ \ccos(\beta) $$と符号を消すのを除き、
他は全て$$ \csin(\iro[ak]- \beta) $ = $ \iro[ak]- \csin(\beta) $$のように符号を通す。
このため、右辺は$$ \ccos \beta $$のみを見つけ、見つからなければ符号反転させれば良い。
以上の結果、加法定理の４式は次のようになる。
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \clr[ai]+ \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ai]+ $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \csin(\alpha \clr[ak]- \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]- $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha \clr[ai]+ \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]- $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha \clr[ak]- \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]+ $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)
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* [[つづき ── 倍角公式>../倍角公式]] [#b0b8f3bb]
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