猫式/三角関数/倍角公式 のバックアップ差分(No.1)

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  • 1 (2011.0607 (火) 0619.3800)

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/倍角公式
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* 倍角公式 [#hd1f0947]

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** 混合型 [#e55f543f]

倍角公式は、$$ 2 \theta $$の三角関数を$$ \theta $$の三角関数に変換する公式。
$$ 2 \theta $ = $ \theta $ + $ \theta $$と見なせるため、加法定理として次の2式を組み立てられる。

#ceq(e)
    $$ \csin 2 \theta $ = $ \csin(\theta + \theta) $$
    　$$ \Rightarrow $$　$$ \csin \theta $ \ccos \theta $ + $ \ccos \theta $ \csin \theta $$
    　$$ \Rightarrow $$　$$ 2 $ \csin \theta $ \ccos \theta $$
#ceq(e)
    $$ \ccos 2 \theta $ = $ \ccos(\theta + \theta) $$
    　$$ \Rightarrow $$　$$ \ccos \theta $ \ccos \theta $ - $ \csin \theta $ \csin \theta $$
    　$$ \Rightarrow $$　$$ \csin^2 \theta $ - $ \ccos^2 \theta $$
#ceq(end)
コツとして、途中まで加法定理の名残で２つの$$ \theta $$を$$ \alpha $$と$$ \beta $$のままに別々扱うと良い。
さもなければ、$$ \csin $$の方では係数の$$ 2 $$を得るのに$$ \csin \theta $ \ccos \theta $$の値域を覚える必要がある。

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** 余弦型 [#ie4d9854]

一方、$$ e^{2 \theta} $ = $ e^\theta $ e^\theta $ = $ (e^\theta)^2 $$と同形の倍角公式もある。
#ceq(e)
    $$ \ctri 2 \theta $ \Rightarrow $ \ctri^2 \theta $$
#ceq(end)
ただし、$$ \ctri^2 \theta $$は正弦数が必ず偶数になるため、正弦数が奇数の$$ \csin 2 \theta $$の公式は無い。
公式があるのは$$ \ccos 2 \theta $$の方で、しかも２通りもある。

#ceq(e)
    $$ \ccos 2 \theta $ \Rightarrow $ \phantom-\! $ \ccos^2 \theta $$
#ceq(a)
    正弦奇偶則：正弦数０、偶数。
#ceq(e)
    $$ \ccos 2 \theta $ \Rightarrow $ \iro[ak]-\! $ \csin^2 \theta $$
#ceq(a)
    正弦奇偶則：正弦数２、偶数、正弦陰性則。
#ceq(end)

この時点、両辺とも符号を反転する原因が無いため、符号合わせは必要としない。
しかし、値域に関して、
左辺は$$ -1 $ \le $ \ccos 2 \theta $ \le $ 1 $$であるのに対し、
右辺は$$  0 $ \le $ \ccos^2 \theta $ \le $ 1 $$と$$ -1 $ \le $ \csin^2 \theta $ \le $ 0 $$であるため、
合わせる必要がある。

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''値域合わせ''

値域を簡潔に記述するため、猫式では独自の表記を用いる。
一般に、$$ -1 $ \le $ \ccos 2 \theta $ \le $ 1 $$のような閉空間を$$ [-1, 1] $$のように表記するが、
括弧は他の意味にも使われるため、猫式では$$ -1::1 $$と表記する
((この表記の利点と計算規則については、別の機会で紹介する予定))

幸い公式は簡単に出来てるもので、値域が異なる場合、線形変換で済む。

$$ \ccos 2 \theta $ \Rightarrow $ \ccos^2 \theta $$の場合、
左辺は$$ -1::1 $$、右辺は$$ 0::1 $$であるため、
$$ \times $ 2 $$、$$ - $ 1 $$すれば良い：
#ceq(e)
    $$ (-1::1) $ = $ (0::1) $ \times $ 2 $ - $ 1 $$
    (($$ (0::1) $ \times $ 2 $ - $ 1 $ = $ (0::2) $ - $ 1 $ = $ (-1::1) $$))
#ceq(end)
//
$$ \ccos 2 \theta $ \Rightarrow $ \iro[ak]-\! $ \csin^2 \theta $$の場合、
左辺は$$ -1::1 $$、右辺は$$ -1::0 $$であるため、
$$ \times $ 2 $$、$$ + $ 1 $$すれば良い：
#ceq(e)
    $$ (-1::1) $ = $ (-1::0) \times 2 + 1 $$
    (($$ (-1::0) \times 2 + 1 $ = $ (-2::0) + 1 $ = $ (-1::1) $$))
#ceq(end)
以上より、次の２式を得る：
#ceq(e)
    $$ \ccos 2 \theta $ = $ \phantom-\! $ \iro[md]2 $ \ccos^2 \theta $ \iro[md]- $ \iro[md]1 $$
&br;$$ \ccos 2 \theta $ = $ \iro[ak]-\! $ \iro[md]2 $ \csin^2 \theta $ \iro[md]+ $ \iro[md]1 $$
#ceq(end)
//
%bodynote

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* [[つづき ── 半角公式>../半角公式]] [#b0b8f3bb]

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