足す $$ \textrm{vs.} $$ 選ぶ EditToHeaderToFooter

加法定理と和積公式の補足。

$$ \ctri $$による表記では、加法定理は$$ \ctri(\alpha \pm \beta) $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri\alpha $$$$ \ctri \beta $$、和積公式は$$ \ctri A $$$$ \cpm $$$$ \ctri B $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri \alpha $$$$ \ctri \beta $$。また、右辺が共通の形をしており、４通りの組み合わせが正弦奇偶則により２つ１組で左辺に割り当てられる。

加法定理では、

$$ \csin(\alpha \pm \beta) $$ ── 奇数 ── $$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$、$$ \phantom-\! $$$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$
$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$、$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$

和積公式では、

$$ \csin \alpha $$$$ \pm $$$$ \csin \beta $$ ── 奇数 ── $$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \pm $$$$ \ccos \beta $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$

紛らわしいのは、この後、加法定理では２つの候補を足し合わせるのに対し、積和公式では２つの候補から１つを選び出す。残念ながら理論的な方法は無いが、公式の名前を手掛かりとした簡便な方法はある。

加法定理 ── 右辺も加法 ── 足し合わせて良い
和積公式 ── 右辺は乗算 ── 乗算のまま ── ２択１

$$ \alpha \pm \beta $$$$ \textrm{vs.} $$$$ \ffd{\alpha \pm \beta}{2} $$ EditToHeaderToFooter

積和公式と和積公式の補足。

積和公式と和積公式で紛らわしいのは、右辺が$$ \alpha \pm \beta $$なのか、$$ \ffd{\alpha \pm \beta}{2} $$なのか。これも残念ながら理論的な方法は無いが、公式の名前を手掛かりに区別する簡便な方法はある。

積和公式
∵ 積和公式は、左辺が積、右辺が和
∵ $$ \alpha \pm \beta $$は和$$ \fracstrut $$
∴ 右辺には$$ \alpha \pm \beta $$$$ \fracstrut $$

和積公式
∵ 和積公式は、左辺が和、右辺が積
∵ $$ \ffd{\alpha \pm \beta}{2} $$は$$ \alpha \pm \beta $$と$$ \ffd12 $$の積
∴ 右辺には$$ \ffd{\alpha \pm \beta}{2} $$

つづき ── 理論編/虚数正弦? EditToHeaderToFooter
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