猫式/三角関数 のバックアップソース(No.2)

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  • 1 (2011.0607 (火) 0609.5300)
  • 2 (2011.0607 (火) 0614.5800)

/三角関数公式
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* 三角公式 [#o665df9a]

三角関数の公式と言えば、加法定理を初めとし、
積和公式と和積公式に、倍角公式と半角公式が続き、
全てを丸暗記するには相当の記憶力が必要で、覚えたとしても紛らわしい式が並ぶため混同しやすい。
これも大学に入れば複素数の指数関数計算で少しは簡単に導けるようになるのだが、
残念ながら、高校で覚える公式で楽しようって話は聞かない。

仕方ないので、楽をする方法を作ってみた。
簡略のため、三角関数の公式を三角公式と、複素数の指数関数を複素指数と略す。
猫式では複素指数から三角関数を導く過程を高速化した結果、
複素指数を使わずに、三角関数を簡単な規則だけで直接組み立てられるようにした。

三角関数で組み立てるのは以下の16本
(($$ \tan $$の公式は、いつか追加する予定。))。
覚えるとしたら黒字の部分で、赤字、青字、緑字は全て規則から作り出す。
なお、式の符号が整理されてないように見えるのは、こっちの方が規則的だったりするため。
//
#ceq(e)
        $$ \csin(\alpha \clr[ai]+ \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ai]+ $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
    &br;$$ \csin(\alpha \clr[ak]- \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]- $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
    &br;$$ \ccos(\alpha \clr[ai]+ \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]- $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
    &br;$$ \ccos(\alpha \clr[ak]- \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]+ $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(q)
        $$ \csin \clr[md]2 \theta $ = $ \clr[md]2 $ \csin \theta $ \ccos \theta                        $$
    &br;$$ \ccos \clr[md]2 \theta $ = $ \ccos^{\clr[md]2} \theta $ \clr[ak]- $ \csin^{\clr[md]2} \theta $$
    &br;$$ \ccos \clr[md]2 \theta $ = $ \clr[md]2 $ \ccos^{\clr[md]2} \theta $ \clr[ak]- $ \clr[md]1    $$
    &br;$$ \ccos \clr[md]2 \theta $ = $ \clr[md]1 $ \clr[ak]- $ \clr[md]2 $ \csin^{\clr[md]2} \theta    $$
#ceq(q)
        $$ \phantom{=} $ \ccos^{\clr[md]2} $ \ffd{\theta}{\clr[md]2} $ = $ \ffd{\ccos \theta \, \clr[ai]+ \, \clr[md]{1}}{\clr[md]{2}} $$
    &br;$$  \clr[ak]-  $ \csin^{\clr[md]2} $ \ffd{\theta}{\clr[md]2} $ = $ \ffd{\ccos \theta \, \clr[ak]- \, \clr[md]{1}}{\clr[md]{2}} $$
#ceq(end)
//
#ceq(e)
        $$ \phantom{+} $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ = $ \clr[md]{\ffd12} $ \! \Big( \! $ \csin(\alpha + \beta) $ \clr[ai]+ $ \csin(\alpha - \beta) $ \! \Big) $$
    &br;$$ \phantom{+} $ \ccos \alpha $ \csin \beta $ = $ \clr[md]{\ffd12} $ \! \Big( \! $ \csin(\alpha + \beta) $ \clr[ak]- $ \csin(\alpha - \beta) $ \! \Big) $$
    &br;$$ \phantom{+} $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ = $ \clr[md]{\ffd12} $ \! \Big( \! $ \ccos(\alpha + \beta) $ \clr[ai]+ $ \ccos(\alpha - \beta) $ \! \Big) $$
    &br;$$  \clr[ak]-  $ \csin \alpha $ \csin \beta $ = $ \clr[md]{\ffd12} $ \! \Big( \! $ \ccos(\alpha + \beta) $ \clr[ak]- $ \ccos(\alpha - \beta) $ \! \Big) $$
#ceq(q)
        $$ \csin A $ \clr[ai]+ $ \csin B $ = $ \phantom{+} $ \clr[md]2 $ \csin \ffd{A+B}{\clr[md]2} $ \ccos \ffd{A-B}{\clr[md]2} $$
    &br;$$ \csin A $ \clr[ak]- $ \csin B $ = $ \phantom{+} $ \clr[md]2 $ \ccos \ffd{A+B}{\clr[md]2} $ \csin \ffd{A-B}{\clr[md]2} $$
    &br;$$ \ccos A $ \clr[ai]+ $ \ccos B $ = $ \phantom{+} $ \clr[md]2 $ \ccos \ffd{A+B}{\clr[md]2} $ \ccos \ffd{A-B}{\clr[md]2} $$
    &br;$$ \ccos A $ \clr[ak]- $ \ccos B $ = $  \clr[ak]-  $ \clr[md]2 $ \csin \ffd{A+B}{\clr[md]2} $ \csin \ffd{A-B}{\clr[md]2} $$
#ceq(end)

以下では、いきなり実践編ということで、高校生でも扱えるように複素指数の話抜きで三角公式の組立を紹介してから、
理論編で組立に使う「正弦奇偶則」、「正弦陰性則」という猫式特有の法則の説明を行う。

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* 実践編 [#f5326b04]

- [[加法定理>./加法定理]]
- [[倍角公式>./倍角公式]]
- [[半角公式>./半角公式]]
- [[積和公式>./積和公式]]
- [[和積公式>./和積公式]]
- [[補足>./補足]]

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* 理論編 [#qdb045c4]
- [[虚数正弦>./虚数正弦]]

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//* [#q45d181d]
//
//- [[正道：三角公式の高速導出>./高速導出]] ── 加法定理から全ての公式を素早く導く。
//- [[邪道：三角公式の猫式組立>./猫式組立/実践編]] ── 関数に性質から、特定の公式を形式的に組み立てる。
//- [[./猫式組立]]
//
//ちなみに、邪道も一応は後付け説明が可能：[[三角公式の猫式組立（理論編）>./猫式組立/理論編]]

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