猫式/三角公式/加法定理 のバックアップ(No.1) |
加法定理加法定理は、加減算の三角関数を三角関数の積に分解する公式。便宜上、三角関数がかのどちらかで未定であることをと表記*1すると、加法定理の一般形は次のように書ける: 重要なのはとは加算を乗算に変える能力を持っていること*2。そして、これが指数の法則()と同形であること。 等号ではないのは、符号や係数などが欠けているため。式の左辺がそれぞれ、、、の場合について、等号が成立するように右辺を決めて行くのが組立の仕事。 1. 正弦合わせ 組立はの決定から始める。三角関数は三角公式の骨組みのようなもので、これが決まらないと何も決まらない。 猫式では、個々の項に対し、乗算しているの数をその項の正弦数と定義する。加法定理の右辺にあるには未定表記が2つあるため、組み合せは2×2=4通り。それぞれの正弦数は次のようになる:
正弦数に関して次の組立規則が成り立つ:
これらは猫式組立の真髄である。説明するには、大学で習う知識が必要になるため、後回し。ともかく、これらの規則を適応すると、負号が1つ現れ、右辺はそれぞれ2組ずつ絞られる:
問題は2組の候補から左辺に来るべき1つの値を作り出す方法である。結論から言えば、加法定理ということで、単純に加えば良い*3。 ここまでの作業で次の形になる: 2. 符号合わせ 続けて、式に残る符号を決める。一般に、数式は上手く出来るもので、「」が普通であり、「」になるには何かの理由がある。実は、左辺が加算の2式は既に出来上がっている。 残りの2式は、左辺のが符号反転したがために、右辺でも符号反転する。結果的に、右辺のをに置き換えて計算することになるが、がと符号反転に影響されないのに対し、はのように符号反転を伝搬すると、性質を押さえれば計算をしなくて済む。 また、正弦陰性則にもあるように、と「」はどうも仲が良い。実はこれを考慮して、両方とも赤色に統一しているのだが、慣れれば「」→「」→「」と色を頼りに操作しても良い。 以上の結果、加法定理の4式は次のようになる。 つづき ── 倍角公式? |