猫式/三角公式/加法定理 のバックアップの現在との差分(No.1)

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  • 1 (2011.0613 (月) 0526.5100)

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/加法定理
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* 加法定理 [#n22da2d4]

加法定理は、加減算の三角関数を三角関数の積に分解する公式。
便宜上、三角関数が$$ \csin $$か$$ \ccos $$のどちらかで未定であることを$$ \ctri $$と表記
((一応語源は三角を意味する英語 triangle の先頭にある、「三」を意味する語根 tri から。))
すると、
加法定理の一般形は次のように書ける：
#ceq(e)
    $$ \spc{\ctri}{\exp}(\alpha \pm \beta) $ \Rightarrow $ \spc{\ctri}{\!\exp}(\alpha) \, \spc{\ctri}{\exp}(\beta) $$
#ceq(end)
重要なのは$$ \sin $$と$$ \cos $$は加算を乗算に変える能力を持っていること
((公式なんかより関数の性質を覚える方が遥かに重要))。
そして、これが指数の法則（$$ e^{\alpha + \beta} = e^\alpha \, e^\beta $$）と同形であること。

等号ではないのは、符号や係数などが欠けているため。
式の左辺がそれぞれ
$$ \csin(\alpha + \beta) $$、
$$ \csin(\alpha - \beta) $$、
$$ \ccos(\alpha + \beta) $$、
$$ \ccos(\alpha - \beta) $$の場合について、等号が成立するように右辺を決めて行くのが組立の仕事。

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''1. 正弦合わせ''

組立は$$ \ctri $$の決定から始める。
三角関数は三角公式の骨組みのようなもので、これが決まらないと何も決まらない。

猫式では、個々の項に対し、乗算している$$ \csin $$の数をその項の''正弦数''と定義する。
加法定理の右辺にある$$ \ctri \alpha \, \ctri \beta $$には未定表記が2つあるため、組み合せは2×2＝4通り。
それぞれの正弦数は次のようになる：
#ceq(e)
    $$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$ ── ０個 ── 偶数
&br;$$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$ ── １個 ── 奇数
&br;$$ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ ── １個 ── 奇数
&br;$$ \csin \alpha $ \csin \beta $$ ── ２個 ── 偶数
#ceq(end)

正弦数に関して次の組立規則が成り立つ：
#ceq(e)
    ''正弦陰性則： $$ \csin $$が２つ掛け合わせる毎に、項の前に「$$ \iro[ak]- $$」が１つ増える''
#ceq(e)
    ''正弦奇偶則： 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数」または「全て偶数」''
#ceq(end)
これらは猫式組立の真髄である。
説明するには、大学で習う知識が必要になるため、後回し。
ともかく、これらの規則を適応すると、負号が１つ現れ、右辺はそれぞれ２組ずつ絞られる：
#ceq(e)
    $$ \csin(\alpha + \beta) $$ ── 奇数 ── $$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$、$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ 
&br;$$ \csin(\alpha - \beta) $$ ── 奇数 ── $$ \csin \alpha $ \ccos \beta $$、$$ \phantom-\! $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ 
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$、$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha - \beta) $$ ── 偶数 ── $$ \ccos \alpha $ \ccos \beta $$、$$ \iro[ak]-\! $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)

問題は２組の候補から左辺に来るべき１つの値を作り出す方法である。
結論から言えば、&font(u){加};法定理ということで、単純に&font(u){加};えば良い
((和積公式でも同じ状況になるが、和&font(u){積};は右辺が&font(u){積};なので、加えたりしない。))。

ここまでの作業で次の形になる：
#ceq(e)
    $$ \csin(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha $ \ccos \beta $         + $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ 
&br;$$ \csin(\alpha - \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha $ \ccos \beta $         + $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ 
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \iro[ak]- $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha - \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \iro[ak]- $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)
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''2. 符号合わせ''

続けて、式に残る符号を決める。
一般に、数式は上手く出来るもので、「$$ + $$」が普通であり、「$$ \iro[ak]- $$」になるには何かの理由がある。
実は、左辺が加算の２式は既に出来上がっている。
#ceq(e)
    $$ \csin(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ + $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$ 
&br;$$ \ccos(\alpha + \beta) $ \Rightarrow $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ - $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)

残りの２式は、左辺の$$ \beta $$が符号反転したがために、右辺でも符号反転する。
結果的に、右辺の$$ \beta $$を$$ -\beta $$に置き換えて計算することになるが、
$$ \ccos $$が$$ \ccos(\iro[ak]- \beta) $ = $ \ccos(\beta) $$と符号反転に影響されないのに対し、
$$ \csin $$は$$ \csin(\iro[ak]- \beta) $ = $ \iro[ak]- \csin(\beta) $$のように符号反転を伝搬すると、
性質を押さえれば計算をしなくて済む。

また、正弦陰性則にもあるように、$$ \csin $$と「$$ \iro[ak]- $$」はどうも仲が良い。
実はこれを考慮して、両方とも赤色に統一しているのだが、
慣れれば「$$ \iro[ak]- \beta $$」→「$$ \csin $$」→「$$ \iro[ak]- $$」と色を頼りに操作しても良い。

以上の結果、加法定理の４式は次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \csin(\alpha                  +  \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ai]+ $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]- $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha                  +  \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]- $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
&br;$$ \ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \clr[ak]+ $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)

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* [[つづき ── 倍角公式>../倍角公式]] [#b0b8f3bb]

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