- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
/虚数正弦
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ \bi \sin $$ [#xf7c3ed5]
公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点の一つである。
なぜ「$$ - $$」になるのか。
なぜ「$$ \sin $$」になるのか。
運よく、隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に作り出すことができる。
三角公式の場合、
オイラーの公式$$ e^{\bi \theta} $ = $ \cos \theta $ + $ \bi \sin \theta $$を使えば、$$ \sin $$と$$ \cos $$を複素指数で表せる。
複素指数の形で三角公式を導出すると、$$ \sin $$が$$ \bi $$と一緒に動くのが分かる。
そして、$$ \bi \sin $$を一塊で扱う方が公式が規則的になる。
以下はオイラーの公式と三角関数の指数表示：
#ceq(e)
$$
\left\{ \begin{array}{l}
e^{+\bi \theta} = \cos \theta + \bi \sin \theta \ffdstrut
\\ e^{-\bi \theta} = \cos \theta - \bi \sin \theta \ffdstrut
\end{array} \right.
$$
⇒
$$
\left\{ \begin{array}{r}
\phantom{\bi} \cos \theta = \ffd12 \Big( e^{+\bi \theta} + e^{-\bi \theta} \Big)
\\ \bi \sin \theta = \ffd12 \Big( e^{+\bi \theta} - e^{-\bi \theta} \Big)
\end{array} \right.
$$
#ceq(end)
これらを使えば全ての三角公式を導ける。
例えば、加法定理は次のように導ける：
#ceq(e)
$$ \phantom= $ \ccos(\alpha \pm \beta) $ + $ \ci \csin(\alpha \pm \beta)$$
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi(\alpha \pm \beta)} $$
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ e^{\bi \alpha} $ \cdot $ e^{\pm \bi \beta} $$
#ceq(a)
指数法則
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ + $ \ci \csin \alpha $ ) $ \cdot $ ( $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \beta $ ) $$
#ceq(a)
オイラーの公式
#ceq(e)
$$ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $ + $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(a)
乗算分配則
#ceq(e)
$$ = $ ( $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $ ) $ + $ ( $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $ ) $$
#ceq(a)
実部と虚部の分離
#ceq(end)
実部と虚部を別々に比較して$$ \bi \sin $$版の加法定理を得る：
#ceq(e)
$$ \phantom{\ci} \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \phantom{\ci} \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ci \csin \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(e)
$$ \ci \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ \ci \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \phantom{\ci} \ccos \alpha $ \ci \csin \beta $$
#ceq(end)
さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る：
#ceq(e)
$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $ = $ \ccos \alpha $ \ccos \beta $ \mp $ \csin \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(e)
$$ \csin(\alpha \pm \beta) $ = $ \csin \alpha $ \ccos \beta $ \pm $ \ccos \alpha $ \csin \beta $$
#ceq(end)
表面的ではあるが、
通常版では$$ \pm $$の中に$$ \mp $$が１つだけ混ざっているのに対し、
$$ \bi \sin $$版の方では全て$$ \pm $$に統一している。
しかし、複素数の計算規則が裏にあり、$$ \pm $$は$$ \bi^2 $$の計算結果である。
さらに、$$ \bi $$と$$ \sin $$は一緒に動くため、$$ \sin^2 $$があるところは必ず$$ \bi^2 $$があり、「$$ - $$」が付く。
よって、次の法則が成り立つ：
#ceq(e)
''正弦陰性則： 正弦関数は2つ掛け合わせる毎に１つの「$$ - $$」が付く''
#ceq(end)
次に、通常の三角公式は全て実数である。
複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」または「全ての項が実数」を満たす必要がある。
純虚数の項では$$ \bi $$の数は奇数、実数の項では$$ \bi $$の数は偶数になる。
これに加え、$$ \bi $$と$$ \sin $$は一緒に動くため、
$$ \bi $$に対して言えることは、$$ \sin $$の数に対しても同じことが言えて、次の法則が成り立つ：
#ceq(e)
''正弦奇偶則： 等式の各項における正弦数は、全てが奇数または全てが偶数''
#ceq(end)
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 実弦・虚弦 [#fc21e487]
名前の問題。
従来の余弦$$ \cos $$や正弦$$ \sin $$と区別のため、
猫式では$$ \cos $$を実弦、$$ \bi \sin $$を虚弦と呼ぶ。
本質の問題。
図１に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが、複素数平面上で考えようが、
実数値の座標値に過ぎない。
一方、
図２に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値である。
|CENTER:|CENTER:|c
|&attachref(./CosSinMap.png,40%); &br; 図１: $$ \sin $$と$$ \cos $$|&attachref(./CosIsinMap.png,40%); &br; 図２: $$ \bi \sin $$と$$ \cos $$|
//$$ s = \sin \theta $$&br;
//$$ c = \cos \theta $$&br;
//$$ \theta $$br;
//
//$$ \clr[md]{0} $$&br;
//$$ \clr[md]{1} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{s \!=\! \sin \theta} $$&br;
//$$ \clr[md]{c \!=\! \cos \theta} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\textrm{P} \!=\! (c, s) \!=\! (\cos \theta, \sin \theta)} $$&br;
//
//$$ \clr[md]{0} $$&br;
//$$ \clr[mr]{\theta} $$&br;
//$$ \clr[ai]{1} $$&br;
//$$ \clr[ak]{\bi} $$&br;
//$$ \clr[mr]{P \!=\! \cos \theta + \bi \sin \theta \!=\! C \!+\! S} $$&br;
//$$ \clr[ai]{C \!=\! \cos \theta} $$&br;
//$$ \clr[ak]{S \!=\! \bi \sin \theta} $$&br;
//
//$$ \clr[mr]{0} $$&br;
////////////////////////////////////////////////////////////////
//#hr
//#attach(noform)
////////////////////////////////////////////////////////////////
![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
