虚数正弦 $$ \bi \sin $$ EditToHeaderToFooter

公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点の一つである。なぜ「$$ - $$」になるのか。なぜ「$$ \sin $$」になるのか。運よく隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に組み立てることができる。

三角公式の場合、オイラーの公式$$ e^{\bi \theta} $$$$ = $$$$ \cos \theta $$$$ + $$$$ \bi \sin \theta $$を使えば、$$ \sin $$と$$ \cos $$を複素指数で表せる。複素指数の形で三角公式を導出すると、$$ \sin $$が$$ \bi $$と一緒に動くのが分かる。そして、$$ \bi \sin $$を一塊で扱う方が公式が規則的になる。

以下はオイラーの公式と三角関数の指数表示：

$$ \left\{ \begin{array}{l} e^{+\bi \theta} = \cos \theta + \bi \sin \theta \ffdstrut \\ e^{-\bi \theta} = \cos \theta - \bi \sin \theta \ffdstrut \end{array} \right. $$⇒$$ \left\{ \begin{array}{r} \phantom{\bi} \cos \theta = \ffd12 \Big( e^{+\bi \theta} + e^{-\bi \theta} \Big) \\ \bi \sin \theta = \ffd12 \Big( e^{+\bi \theta} - e^{-\bi \theta} \Big) \end{array} \right. $$

これらを使えば全ての三角公式を導ける。例えば、加法定理は次のように導ける：

$$ \phantom= $$$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $$$$ + $$$$ \ci \csin(\alpha \pm \beta) $$

$$ = $$$$ e^{\bi(\alpha \pm \beta)} $$

オイラーの公式

$$ = $$$$ e^{\bi \alpha} $$$$ \cdot $$$$ e^{\pm \bi \beta} $$

指数法則

$$ = $$$$ ( $$$$ \ccos \alpha $$$$ + $$$$ \ci \csin \alpha $$$$ ) $$$$ \cdot $$$$ ( $$$$ \ccos \beta $$$$ \pm $$$$ \ci \csin \beta $$$$ ) $$

オイラーの公式

$$ = $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \pm $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ci \csin \beta $$$$ + $$$$ \ci \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \pm $$$$ \ci \csin \alpha $$$$ \ci \csin \beta $$

乗算分配則

$$ = $$$$ ( $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \pm $$$$ \ci \csin \alpha $$$$ \ci \csin \beta $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ \ci \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \pm $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ci \csin \beta $$$$ ) $$

実部と虚部の分離

実部と虚部を別々に比較して$$ \bi \sin $$版の加法定理を得る：

$$ \phantom{\ci} \ccos(\alpha \pm \beta) $$$$ = $$$$ \phantom{\ci} \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \pm $$$$ \ci \csin \alpha $$$$ \ci \csin \beta $$

$$ \ci \csin(\alpha \pm \beta) $$$$ = $$$$ \ci \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \pm $$$$ \phantom{\ci} \ccos \alpha $$$$ \ci \csin \beta $$

さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る：

$$ \ccos(\alpha \pm \beta) $$$$ = $$$$ \ccos \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \mp $$$$ \csin \alpha $$$$ \csin \beta $$

$$ \csin(\alpha \pm \beta) $$$$ = $$$$ \csin \alpha $$$$ \ccos \beta $$$$ \pm $$$$ \ccos \alpha $$$$ \csin \beta $$

表面的ではあるが、$$ \bi \sin $$版の方では全て$$ \pm $$に統一しているのに対し、通常版では$$ \pm $$の中に$$ \mp $$が１つだけ混ざっている。問題は、そこに複素数の計算規則があって、$$ \mp $$は$$ \bi^2 $$の計算結果である。さらに、$$ \bi $$と$$ \sin $$は一緒に動くため、$$ \sin^2 $$があるところは必ず$$ \bi^2 $$があり、「$$ - $$」が付く。よって、次の法則が成り立つ：

正弦奇偶則： 正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数」または「全て偶数」

次に、通常の三角公式は全て実数である。複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」または「全ての項が実数」を満たす必要がある。純虚数の項では$$ \bi $$の数は奇数、実数の項では$$ \bi $$の数は偶数になる。これに加え、$$ \bi $$と$$ \sin $$は一緒に動くため、$$ \bi $$に対して言えることは、$$ \sin $$の数に対しても同じことが言えて、次の法則が成り立つ：

正弦陰性則： $$ \csin $$が２つ掛け合わせる毎に、項の前に「$$ \iro[ak]- $$」が１つ増える

実弦・虚弦 EditToHeaderToFooter

名前の問題。従来の余弦$$ \cos $$や正弦$$ \sin $$と区別のため、猫式では$$ \cos $$を実弦、$$ \bi \sin $$を虚弦と呼ぶ。

本質の問題。図１に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが、複素数平面上で考えようが、実数値の座標値に過ぎない。一方、図２に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値である。

File not found: "CosSinMap.png" at page "猫式/三角公式/虚数正弦"[添付]
図１: $$ \sin $$と$$ \cos $$		File not found: "CosIsinMap.png" at page "猫式/三角公式/虚数正弦"[添付]
図２: $$ \bi \sin $$と$$ \cos $$
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