倍角公式 EditToHeaderToFooter

混合型 EditToHeaderToFooter

倍角公式は、$$ 2 \theta $$の三角関数を$$ \theta $$の三角関数に変換する公式。$$ 2 \theta $$$$ = $$$$ \theta $$$$ + $$$$ \theta $$と見なせるため、加法定理として次の2式を組み立てられる。

$$ \csin 2 \theta $$$$ = $$$$ \csin(\theta + \theta) $$　$$ \Rightarrow $$　$$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$$$ + $$$$ \ccos \theta $$$$ \csin \theta $$　$$ \Rightarrow $$　$$ 2 $$$$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$

$$ \ccos 2 \theta $$$$ = $$$$ \ccos(\theta + \theta) $$　$$ \Rightarrow $$　$$ \ccos \theta $$$$ \ccos \theta $$$$ - $$$$ \csin \theta $$$$ \csin \theta $$　$$ \Rightarrow $$　$$ \ccos^2 \theta $$$$ - $$$$ \csin^2 \theta $$

コツとして、途中まで加法定理の名残で２つの$$ \theta $$を$$ \alpha $$と$$ \beta $$のままに別々扱うと良い。さもなければ、$$ \csin $$の方では係数の$$ 2 $$を得るのに$$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$の値域を覚える必要がある。

余弦型 EditToHeaderToFooter

一方、$$ e^{2 \theta} $$$$ = $$$$ e^\theta $$$$ e^\theta $$$$ = $$$$ (e^\theta)^2 $$と同形の倍角公式もある。

$$ \ctri 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri^2 \theta $$

ただし、$$ \ctri^2 \theta $$は正弦数が必ず偶数になるため、正弦数が奇数の$$ \csin 2 \theta $$はこの形の公式が無い*1。公式があるのは$$ \ccos 2 \theta $$の方で、次の２通りである。

$$ \ccos 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \phantom-\! $$$$ \ccos^2 \theta $$　（正弦数＝０）

$$ \ccos 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin^2 \theta $$　（正弦数＝２、陰性）

この時点、両辺とも符号を反転する原因が無いため、符号合わせは必要としない。しかし、値域は、左辺が$$ -1 $$$$ \le $$$$ \ccos 2 \theta $$$$ \le $$$$ 1 $$で、右辺が$$ 0 $$$$ \le $$$$ \ccos^2 \theta $$$$ \le $$$$ 1 $$、$$ -1 $$$$ \le $$$$ \csin^2 \theta $$$$ \le $$$$ 0 $$で異なるため、合わせる必要がある。

*1 $$ \ctri 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri \theta $$$$ \ctri \theta $$とすれば、混合型の$$ 2 $$$$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$が該当すると見なしても良いが、この方法では係数が面倒になる。

値域合わせ

値域を簡潔に記述するため、$$ -1 $$$$ \le $$$$ \ccos 2 \theta $$$$ \le $$$$ 1 $$のような閉区間を$$ -1::1 $$と表記する*2。幸い公式は単純に出来ているもので、値域併せは線形変換で済む。

$$ \ccos 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ccos^2 \theta $$の場合、左辺は$$ -1::1 $$、右辺は$$ 0::1 $$であるため、$$ \times $$$$ 2 $$、$$ - $$$$ 1 $$をすれば良い：

$$ \ccos 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin^2 \theta $$の場合、左辺は$$ -1::1 $$、右辺は$$ -1::0 $$であるため、$$ \times $$$$ 2 $$、$$ + $$$$ 1 $$をすれば良い：

以上より、次の２式を得る：

$$ \ccos 2 \theta $$$$ = $$$$ \phantom-\! $$$$ \iro[md]2 $$$$ \ccos^2 \theta $$$$ \iro[md]- $$$$ \iro[md]1 $$
$$ \ccos 2 \theta $$$$ = $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \iro[md]2 $$$$ \csin^2 \theta $$$$ \iro[md]+ $$$$ \iro[md]1 $$

*2 一般的に、閉空間は$$ [-1, 1] $$のように表記するが、括弧は他の意味にも使われるため、猫式では独自の二項演算子を用いる。
*3 $$ (0::1) $$$$ \times $$$$ 2 $$$$ - $$$$ 1 $$$$ = $$$$ (0::2) $$$$ - $$$$ 1 $$$$ = $$$$ (-1::1) $$
*4 $$ (-1::0) \times 2 + 1 $$$$ = $$$$ (-2::0) + 1 $$$$ = $$$$ (-1::1) $$

つづき ── 半角公式? EditToHeaderToFooter
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