/定数表現
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ C $$は$$ x $$の定数:$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]
$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''ときは何も書けないのが世の不思議。
「関数でない=関係がない」だから書くことがない、と思ってはいけない。
「関数でない=定数である」という立派な関係が成り立つ。
しかし、残念なことに「$$ C $$は$$ x $$の定数である」の表記法も無い。
猫式では、定数表記として、「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と定義。
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 応用例1:積分定数 [#hdb6372d]
不定積分を計算する際には積分定数なるものが現る。
「$$ C $$は積分定数」と一々但し書きをするアレ。
定数表記を使うと、とりあえず~
$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$ (ただし、$$ C $$ は積分定数)~
が~
$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$~
になり、僅かに楽できる。
元々困ってないので、この程度の御利益で限界。
では困る例を一つ:上の2次元版$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$。
$$ g(y) $$は積分''定数''なのに、
「任意''関数''」、「$$ y $$だけの''関数''」と教えられる。
その上、「1変数のときと同じ」と言われて、「積分定数はどーした!?」、「この関数はどっから沸いた!?」、とパニックる。~
$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$ (ただし、$$ C $$ は積分定数)~
が~
$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$ (ただし、$$ g $$ は$$ y $$だけの関数)~
に化けてるから当然の反応かと。
積分定数云々以前に、定数の問題である。
この場合、$$ g(y) $$は$$ x $$の積分定数であると同時に、$$ y $$の関数でもある(かもしれない)。
1変数では定数か関数の2択だったが、2変数では次の4択になる。
// |cENTER: |CENTER: |CENTER: |c
// |* |$$x$$の定数 |$$x$$の関数 |
// |*$$y$$の定数|両方の定数 |$$x$$だけの関数|
// |*$$y$$の関数|$$y$$だけの関数|両方の関数 |
そこで、定数表記の出番。~
1変数:$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y}= F(x) \phantom{,y}+ C \overline{(x)} $$~
2変数:$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$~
本質:$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分したら$$ x $$の積分定数が現る。~
何も変らない。~
何も怖くない。~
#ceq(begin)
&font(b){1変数};
#ceq(q)
#ceq(q)
&font(b){2変数};
#ceq(e)
|CENTER: |CENTER: |CENTER: |c
|* |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
|* |◎ |× |
|* |^ |^ |
#ceq(q)
⇒
#ceq(q)
|CENTER: |CENTER: |CENTER: |c
|* |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
|*$$y$$の定数|◎ |× |
|*$$y$$の関数|^ |^ |
#ceq(end)
////////////////////////////////////////////////////////////////