$$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ EditToHeaderToFooter

$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、$$ f $$が$$ x $$の関数でないときは何も書けないのが世の不思議。「関数でない＝関係がない」として書くまでもないと思ってはいけない。「関数でない＝定数である」という立派な関係が成り立つ。しかし、残念なことに「$$ C $$は$$ x $$の定数である」の表記法も無い。

猫式では、定数表記として「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記。

積分定数 EditToHeaderToFooter

積分定数は名前通りに定数である。不定積分を計算する際に必ず現れる。定数表記を使うと、とりあえず

$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$ （ただし、$$ C $$ は積分定数）

が

$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$

と書ける。これは元々困ってないので、但し書きが記号になった程度のご利益しかない。

元から困るのは多変数関数積分である。

$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$

$$ C $$は積分定数だったのに、「$$ g(y) $$は任意関数」、「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの関数」と書かされる挙句、「１変数のときと同じ」と教わる。全く、何が「同じ」のだか。

次の表から、１変数関数と多変数関数で何が同じで、何が異なるのかが分かる。$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることで、$$ y $$の関数かどうかではない*1。

 $$ x $$の定数$$ x $$の関数
　
　		◎×
 $$ x $$の定数$$ x $$の関数
$$ y $$の定数◎×
$$ y $$の関数◎×

表１：１変数関数積分の定数関係

表２：２変数関数積分の定数関係

*1 $$ y $$の定数を$$ y $$の関数の特殊例と見なす場合もあるが、どーでもいいことには変わりない。

これに対し、定数表記を用いれば次のよう書ける。

１変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$

２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$

$$ f $$が１変数の$$ f(x) $$から２変数の$$ f(x,y) $$に変わってる以外、少なくとも見た目は同じである。

さらに次のように書けば、より精練された記述になる：

$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。

これこそ何変数でも成り立つ式のあるべき姿。
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