猫式/積分定数 のバックアップ差分(No.3)

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/積分定数
%indent

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* $$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]

$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''ときは何も書けないのが世の不思議。

「関数でない＝関係がない」だから書くことがない、と思ってはいけない。
「関数でない＝関係がない」として書くまでもないと思ってはいけない。
「関数でない＝定数である」という立派な関係が成り立つ。
しかし、残念なことに「$$ C $$は$$ x $$の定数である」の表記法も無い。

猫式では、定数表記として、「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と定義。
猫式では、定数表記として「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記。

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* 応用例１：積分定数 [#hdb6372d]
* 積分定数 [#uad9547c]

不定積分を計算する際には積分定数なるものが現る。
「$$ C $$は積分定数」と一々但し書きをするアレ。
積分定数は名前通りに定数である。
不定積分を計算する際に必ず現れる。
定数表記を使うと、とりあえず~
　　$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$　　（ただし、$$ C $$ は積分定数）~
が~
　　$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$~
になり、僅かに楽できる。
元々困ってないので、この程度の御利益で限界。
#ceq(e)
    $$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$     （ただし、$$ C $$ は積分定数）
#ceq(end)
が
#ceq(e)
    $$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
と書ける。
これは元々困ってないので、但し書きが記号になった程度のご利益しかない。

では困る例を一つ：上の２次元版$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$。
$$ g(y) $$は積分''定数''なのに、
「任意''関数''」、「$$ y $$だけの''関数''」と教えられる。
その上、「１変数のときと同じ」と言われて、「積分定数はどーした!?」、「この関数はどっから沸いた!?」、とパニックる。~
　　$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$　　（ただし、$$ C $$ は積分定数）~
が~
　　$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y)  $$　　（ただし、$$ g $$ は$$ y $$だけの関数）~
に化けてるから当然の反応かと。
元から困るのは多変数関数積分である。
#ceq(e)
    $$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$
#ceq(end)
$$ C $$は積分''定数''だったのに、
「$$ g(y) $$は任意''関数''」、「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」と書かされる挙句、
「１変数のときと同じ」と教わる。
全く、何が「同じ」のだか。

積分定数云々以前に、定数の問題である。
この場合、$$ g(y) $$は$$ x $$の積分定数であると同時に、$$ y $$の関数でもある（かもしれない）。
１変数では定数か関数の２択だったが、２変数では次の４択になる。
//    |cENTER:     |CENTER:        |CENTER:        |c
//    |*           |$$x$$の定数    |$$x$$の関数    |
//    |*$$y$$の定数|両方の定数     |$$x$$だけの関数|
//    |*$$y$$の関数|$$y$$だけの関数|両方の関数     |
次の表から、１変数関数と多変数関数で何が同じで、何が異なるのかが分かる。
$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることで、
$$ y $$の関数かどうかではない
(($$ y $$の定数を$$ y $$の関数の特殊例と見なす場合もあるが、どーでもいいことには変わりない。))。

そこで、定数表記の出番。~
１変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y}= F(x) \phantom{,y}+ C \overline{(x)} $$~
２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$~

本質：$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分したら$$ x $$の積分定数が現る。~
何も変らない。~
何も怖くない。~

#ceq(begin)
    &font(b){１変数};
#ceq(q)
#ceq(q)
    &font(b){２変数};
#ceq(e)
    |CENTER:     |CENTER:     |CENTER:     |c
    |*           |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
    |*　         |◎          |×          |
    |*　         |^           |^           |
    |*　&br;　   |◎          |×          |
    |^           |^           |^           |
#ceq(q)
    ⇒
#ceq(q)
    |CENTER:     |CENTER:     |CENTER:     |c
    |*           |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
    |*$$y$$の定数|◎          |×          |
    |*$$y$$の関数|^           |^           |
    |*$$y$$の関数|◎          |×          |
#ceq(e)
    表１：１変数関数積分の定数関係
#ceq(q)
    表２：２変数関数積分の定数関係
#ceq(end)

%bodynote

これに対し、定数表記を用いれば次のよう書ける。
#ceq(e)
    １変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$
#ceq(e)
    ２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
$$ f $$が１変数の$$ f(x) $$から２変数の$$ f(x,y) $$に変わってる以外、少なくとも見た目は同じである。

さらに次のように書けば、より精練された記述になる：
#ceq(e)
    $$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。
#ceq(end)
これこそ何変数でも成り立つ式のあるべき姿。

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