猫式/定数 のバックアップソース(No.2)

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TITLE:定数
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* $$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]

$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''ときは何も書けないのが世の不思議。

関数でない＝関係がない、だから書くことがない、と思ってはいけない。
関数でない＝定数である、という立派な関係が成り立つ。
そして、「$$ C $$は$$ x $$の定数である」の表記法も無い。

猫式では、定数表記として、「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と定義。

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* 応用例１：積分定数 [#hdb6372d]

不定積分を計算する際には積分定数なるものが現れる。
「$$ C $$は積分定数」と一々但し書きをするアレ。
定数表記を使うと、とりあえず~
　　$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$　　（ただし、$$ C $$ は積分定数）~
が~
　　$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$~
になって、わずかに楽できる。
残念かもしれないが、元々困ってないので、この以上の御利益は無い。

では困る例を一つ：上の２次元版$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$。
$$ g(y) $$は積分''定数''なのに、
「任意''関数''」、「$$ y $$だけの''関数''」と教えられ、
おまけに「１変数のときと同じだよ〜」と言われて、
「積分定数はどーした!?」、「この関数はどっから沸いた!?」、とパニックる。~
　　$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$　　（ただし、$$ C $$ は積分定数）~
が~
　　$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y)  $$　　（ただし、$$ g $$ は$$ y $$だけの関数）~
に化けるから当然の反応。

積分定数とは何か、云々以前に、定数とは何かの問題である。
この場合、$$ g(y) $$は$$ x $$の積分定数であると同時に、$$ y $$の関数でもある（かもしれない）。
１変数では定数か関数の２択だったが、多変数では変数が異なれば同時に成りうる。
各変数に関しては２択のままであるから矛盾はない。

そこで、定数表記の出番。~
１変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y}= F(x) \phantom{,y}+ C \overline{(x)} $$~
２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$~

本質：$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分したら$$ x $$の積分定数が現る。~
何も変らない。~
何も怖くない。~

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* コメント [#q08837ca]
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