点積分 EditToHeaderToFooter

ベクトル解析で線積分、面積分、体積分ときて、点積分ないのは不思議。線、面、体で、１次元、２次元、３次元なら、点は０次元に対応しているはず。０は無を意味するが、書かなければ今の数学は無い。

猫式では、以下の類推で、点積分を形式的に定義。

 猫式ベクトル積分表記微小要素対応する微分形式
点積分$$ \clr[bl]{\inte[P] d^{-0} f \, d^{0} p} $$点要素$$ d^0 p $$０次形式：$$ f $$
線積分$$ \inte[R] d^{-1} \b f \sx d^{1}\b r $$線要素$$ d^1\b r $$１次形式：$$ f_x dx + f_y dy + f_z dz $$
面積分$$ \inte[S] d^{-2} \b f \sx d^{2}\b S $$面要素$$ d^2\b S $$２次形式：$$ f_{yz} dydz + f_{zx} dzdx + f_{xy} dxdy $$
体積分$$ \inte[V] d^{-3} f \, d^{3} V $$体要素$$ d^3 V $$３次形式：$$ f_{xyz} dxdydz $$

数字は3、2、1、0で類推できるが、$$ V $$、$$ \b S $$、$$ \b r $$の次と言われても予測不能ので、とりあえず「点」→「point」→「p」のセンスで仮置き。

猫式で積分の回数を表す$$ d^{-0} $$が$$ 0 $$なのは積分が無いため、点積分は名ばかりで、実際の計算では積分は無いのが分かる。これは累次積分で計算するときの積分回数や、対応する微分形式からも類推可能。

今回のポイントは、$$ \inte[P] d^{-0} f \, d^{0} p $$から$$ d^{-0} $$と$$ d^0p $$が消えても、$$ \inte[P] $$$$ f $$が残る。猫式では、$$ \inte $$は範囲指定の専用記号。$$ \inte[P] $$$$ f $$は範囲$$ P $$における$$ f $$の値と読める。例えば、$$ P $$は点$$ \b r $$＝$$ \b p $$とすると、$$ \inte[P] f(\b r) $$＝$$ \inte[p] f(\b r) $$＝$$ f(\b p) $$。つまり、点積分は代入演算と等価。

積分の基本定理、$$ \inte[a]^b $$の意味 EditToHeaderToFooter

３次元のベクトル置換積分定理には、線積分と面積分を結ぶストークスの定理、面積分と体積分を結ぶガウスの定理がある。点積分を考えば、点積分と線積分を結ぶ定理もあるはず。実際、以下の類推で形式的に式を作り出すと、それが積分の基本定理のベクトル版に見える。

系統名略称慣用名猫式表記
点線置換積分点線置換積分の基本定理$$ \clr[bl]{\inte[P] d^{-0} f \sx d^{0} p = \inte[R] d^{-1} \ddd{ f}{\b r} \sx d^{1}\b r} $$
線面置換積分線面置換ストークスの定理$$ \inte[R] d^{-1} \b f \sx d^{1}\b r = \inte[S] d^{-2} \ddd{\vx \b f}{\b r} \sx d^{2}\b S $$
面体置換積分面体置換ガウスの定理$$ \inte[S] d^{-2} \b f \sx d^{2}\b S = \inte[V] d^{-3} \ddd{\sx \b f}{\b r} \sx d^{3} V $$

積分の基本定理とは、１次元で$$ \inte[a]^b\! \ddd{f(r)}{r} dr $$＝$$ f(b) - f(a) $$。ベクトル場では、$$ \inte[\b a]^{\b b}\! \ddd{f(\b r)}{\b r} \sx d\b r $$＝$$ f(\b b) - f(\b a) $$。点積分を使えば、大雑把に$$ \inte[\b a]^{\b b}\! d^- \ddd{f(\b r)}{\b r} d\b r $$＝$$ \inte[\b a]^{\b b}\! f(\b r) $$。

厳密には、線積分の$$ \inte[a]^b $$は$$ a $$から$$ b $$までの区間$$ \inte[R] $$、点積分の$$ \inte[a]^b $$は$$ a $$と$$ b $$の２点$$ \inte[P] $$と意味が微妙に異なる。猫式では、区別するため、次のように線積分を不定積分と点積分に分けて考え、$$ \inte[a]^b $$は常に点の範囲指定と読む。

　$$ \inte[R] d^- r dr $$

　$$ \inte[a]^b\! r dr $$

左側は猫式、右側は対応する通常表記

＝$$ \inte[a]^b\! d^- r dr $$

＝$$ \!\left[ \fracstrut \inte r dr \right]_b^a $$

線積分を不定積分と点積分に分離

＝$$ \inte[a]^b\! \ffd{r^2}{2} $$

＝$$ \!\left[ \fracstrut \ffd{r^2}{2} \right]_b^a $$

不定積分実行

＝$$ \ffd{\;b^2}{2} - \ffd{\;a^2}{2} $$

＝$$ \ffd{\;b^2}{2} - \ffd{\;a^2}{2} $$

点積分実行

この解釈では、$$ \inte[a]^b $$は定積分の$$ \left[ \fracstrut \cdots \right]_b^a $$と等価になる。一般に、線積分の被積分関数が$$ \ddd{f}{\b r} $$と書けない限り*1、積分値は経路に依存し、２つの端点だけでは決まらない。このためにも、１次元という特殊な場合でも、$$ \inte[a]^b $$は端から端点の表現であって、区間ではないと考えた方が良い。

*1 これが点線置換の成立条件でもある。

基底成分表示による置換積分の統一記述 EditToHeaderToFooter

上記３つの公式を基底成分表記で書くと次のようになる。

 低階側 高階側
点線置換$$ \inte[P] d^{-1} \arrb{ d^0 p & f } $$＝$$ \inte[R] d^{-1} \arrb{d\b r & \ddd{}{\b r}} \wx \arrb{ d^0 p & f } $$＝$$ \inte[R] d^{-1} \arrb{d\b r \wx d^0 p & \ddd{}{\b r} f } $$＝$$ \inte[R] d^{-0} \arrb{d^1\b r & \ddd{}{\b r} f } $$
線面置換$$ \inte[R] d^{-2} \arrb{ d^1\b r & \b f } $$＝$$ \inte[S] d^{-2} \arrb{d\b r & \ddd{}{\b r}} \wx \arrb{ d^1\b r & \b f } $$＝$$ \inte[S] d^{-2} \arrb{d\b r \wx d^1\b r & \ddd{}{\b r} \vx \b f } $$＝$$ \inte[S] d^{-1} \arrb{d^2\b S & \ddd{}{\b r} \vx \b f } $$
面体置換$$ \inte[S] d^{-3} \arrb{ d^2\b S & \b f } $$＝$$ \inte[V] d^{-3} \arrb{d\b r & \ddd{}{\b r}} \wx \arrb{ d^2\b S & \b f } $$＝$$ \inte[V] d^{-3} \arrb{d\b r \wx d^2\b S & \ddd{}{\b r} \sx \b f } $$＝$$ \inte[V] d^{-2} \arrb{d^3 V & \ddd{}{\b r} \sx \b f } $$

左から右は、積分階数の低い式から高い式までの変形。まずは、外微分$$ \arrb{d\b r & \ddd{}{\b r}} $$を挿入する。基底と成分の分母が打消し、成分の分子$$ d $$が残るため、ここで積分の階数が上がり、積分範囲も変わる。次ぎに、ウェッジ積の展開で、微小基底の階数に応じて、成分側が倍積、外積、内積に分かれる。ここで、３次元ベクトルの積演算が出揃うことからも、点線置換は誠の仲間であるのが分かる。

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

点積分を考えて初めて、３次元でのベクトル積分が点、線、面、体と揃う。これらを結ぶ置換積分が点線置換、線面置換、面体置換の３本セット。高校から使ってきた積分の基本定理は、点線置換の立場から眺めると$$ \inte[a]^b $$は２通りの解釈が出来ることが分かる。

基底成分表示で書いた場合、３式の共通点として$$ \arrb{d\b r & \ddd{}{\b r}} $$の挿入とあるが、ここで猫式の発想、$$ \arrb{d\b r & \ddd{}{\b r}} $$が挿せれば$$ \arrb{d^2\b S & \ddd{}{^2\b S}} $$も挿せるはず。と言うわけで、次回「面微分」。
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