猫式/点積分 のバックアップ(No.2) |
点積分ベクトル解析で線積分、面積分、体積分ときて、点積分ないのは不思議。線、面、体で、1次元、2次元、3次元なら、点は0次元に対応しているはず。0は無を意味するが、書かなければ今の数学は無い。 猫式では、以下の類推で、点積分を形式的に定義。
数字は3、2、1、0で類推できるが、、、の次と言われても予測不能ので、とりあえず「点」→「point」→「p」のセンスで仮置き。 猫式で積分の回数を表すがなのは積分が無いため、点積分は名ばかりで、実際の計算では積分は無いのが分かる。これは累次積分で計算するときの積分回数や、対応する微分形式からも類推可能。 今回のポイントは、からとが消えても、が残る。猫式では、は範囲指定の専用記号。は範囲におけるの値と読める。例えば、は点=とすると、==。つまり、点積分は代入演算と等価。 積分の基本定理、の意味3次元のベクトル置換積分定理には、線積分と面積分を結ぶストークスの定理、面積分と体積分を結ぶガウスの定理がある。点積分を考えば、点積分と線積分を結ぶ定理もあるはず。実際、以下の類推で形式的に式を作り出すと、それが積分の基本定理のベクトル版に見える。
積分の基本定理とは、1次元で=。ベクトル場では、=。点積分を使えば、大雑把に=。 厳密には、線積分のはからまでの区間、点積分のはとの2点と意味が微妙に異なる。猫式では、区別するため、次のように線積分を不定積分と点積分に分けて考え、は常に点の範囲指定と読む。
この解釈では、は定積分のと等価になる。一般に、線積分の被積分関数がと書けない限り*1、積分値は経路に依存し、2つの端点だけでは決まらない。このためにも、1次元という特殊な場合でも、は端から端点の表現であって、区間ではないと考えた方が良い。 基底成分表示による置換積分の統一記述上記3つの公式を基底成分表記で書くと次のようになる。
左から右は、積分階数の低い式から高い式までの変形。まずは、外微分を挿入する。基底と成分の分母が打消し、成分の分子が残るため、ここで積分の階数が上がり、積分範囲も変わる。次ぎに、ウェッジ積の展開で、微小基底の階数に応じて、成分側が倍積、外積、内積に分かれる。ここで、3次元ベクトルの積演算が出揃うことからも、点線置換は誠の仲間であるのが分かる。 まとめ・つなぎ点積分を考えて初めて、3次元でのベクトル積分が点、線、面、体と揃う。これらを結ぶ置換積分が点線置換、線面置換、面体置換の3本セット。高校から使ってきた積分の基本定理は、点線置換の立場から眺めるとは2通りの解釈が出来ることが分かる。 基底成分表示で書いた場合、3式の共通点としての挿入とあるが、ここで猫式の発想、が挿せればも挿せるはず。と言うわけで、次回「面微分」。 |