極座標系と回転座標系 < 凌宮数学 (LimgMath)

背景（暫定）

極座標は曲線座標であるため、成分計算に線形性が無い。
しかし、回転系に導入した直交系ないし斜交系では線形性を持つ。
これらは似て非なるものであるが、両方とも「極座標」と呼ばれ、混同しやすい。


２次元極座標系	２次元回転座標系

各座標系とベクトルの成分分解

正規直交座標系

正規直交座標系 $O_{xy}$ とは、原点で直交する有向直線を座標軸とし、
対象の点を通り書く軸に卸す垂線の足における符号付き距離で点を表す座標系である*1。
一番扱い易いため、座方形を考える際に、正規直交座標系を基準に考える。

極座標系

極座標系とは、正規直交座標系 $O_{xy}$ の成分 $$ [x,y] $$ に対し、
変換 $\left\{\begin{array}{c} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{array}\right.$ を満たす成分の組 $((r,\theta))$ で表される座標系 $O_{r\theta}$ である*2 *3。

以下に点の対応する成分を例示する。

点	$O_{xy}$	$O_{r\theta}$	備考
			$\left\{\begin{array}{c} 1 = 1 \cos 0 \\ 0 = 1 \sin 0 \end{array}\right.$
		$((1,\ffd\pi2))$	$\left\{\begin{array}{c} 0 = 1 \cos \ffd\pi2 \\ y = 1 \sin \ffd\pi2 \end{array}\right.$
		$((\sqrt2,\ffd\pi4))$	$\left\{\begin{array}{c} 1 = \sqrt2 \cos \ffd\pi4 \\ y = \sqrt2 \sin \ffd\pi4 \end{array}\right.$

*1 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB
*2 区別のため、本記事では正規直交座標系の成分を角括弧で $$ [x,y] $$ と表し、極座標を二重丸括弧で $((r,\theta))$ と表す。通常は表記で区別しない。
*3 ref: http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/category/others/coordinates/henkan-tex.cgi?target=/math/physics/category/others/coordinates/circular_coordinates.html

回転座標系

回転座標系とは、正規直交座標系を $O_{xy}$ を原点回りに角度 $\theta$ だけ回転した座標系 $O^\theta_{uv}$ である*4。
変換は $\left\{\begin{array}{c} u = + x \cos \theta + y \sin \theta \\ v = - x \sin \theta + y \cos \theta \end{array}\right.$ により与えられる。

簡単なため、 $\theta$ $$ = $$ $\ffd\pi8$ の場合のベクトルの対応する成分を例示する*5。

点	$O_{xy}$	$O^{\pi/8}_{uv}$	備考
		$(\ffd1{\sqrt2},\ffd{-1}{\sqrt2})$	$\left\{\begin{array}{c} \ffd1{\sqrt2} = + 1 \cos \ffd\pi8 + 0 \sin \ffd\pi8 \\ \ffd{-1}{\sqrt2} = - 1 \sin \ffd\pi8 + 0 \cos \ffd\pi8 \end{array} \right.$
		$(\ffd1{\sqrt2}, \ffd1{\sqrt2})$	$\left\{\begin{array}{c} \ffd1{\sqrt2} = + 0 \cos \ffd\pi8 + 1 \sin \ffd\pi8 \\ \ffd1{\sqrt2} = - 0 \sin \ffd\pi8 + 1 \cos \ffd\pi8 \end{array} \right.$
		$(\sqrt2 , 0 )$	$\left\{\begin{array}{c} \sqrt2 = + 1 \cos \ffd\pi8 + 1 \sin \ffd\pi8 \\ \;\;0\; = - 1 \sin \ffd\pi8 + 1 \cos \ffd\pi8 \end{array} \right.$

回転座標系の回転角 $\theta$ が極座標系に基づいているため、この回転座標系 $O^\theta_{uv}$ を
「正規直交座標系を $O_{xy}$ を極座標系 $O_{r\theta}$ に基づき $\theta$ だけ回転した座標系」と言い表せる。

*4 ref: https://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/rikigaku2/sec12.pdf
*5 区別のため、本記事ではベクトルの極座標を一重丸括弧で $(r,\theta)$ と表す。通常は表記で区別しない。

２つの「極座標」の相違点

極座標系 $O_{r\theta}$ と回転座標系 $O^\theta_{uv}$ は既に示した通り、
$O_{xy}$ からの変換式も対応する点の座標値も異なる別の座標系である。
しかし、極座標系の基底ベクトルを導入する文脈では両方を区別せずに「極座標」と呼んだりする。

例えば、http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gmech08/chap05.pdf の§5.1.2 平面極座標では、
座標値は式(5.15)が示す極座標の変換 $\left\{\begin{array}{c} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \end{array}\right.$ に従うのに対し、
単位ベクトルは式(5.17)が示す回転座標系の変換 $\left\{\begin{array}{c} e_r = + e_x \cos e_\varphi + e_y \sin e_\varphi \\ e_\varphi = - e_x \sin e_\varphi + e_y \cos e_\varphi \end{array}\right.$ に従っている。
成分は具体的に書いてないが、全く同じ形をした $\left\{\begin{array}{c} A_r = + A_x \cos A_\varphi + A_y \sin A_\varphi \\ A_\varphi = - A_x \sin A_\varphi + A_y \cos A_\varphi \end{array}\right.$ に従う。

ベクトル $\:A$ が位置を表すとき、
直交座標では座標の成分もベクトルの成分で共通して $$ [x, y] $$ $$ = $$ $$ [A_x, A_y] $$ となるが、
極座標では座標の成分 $((r, \varphi))$ とベクトルの成分 $(A_r, A_\varphi)$ が一致しない。
具体に、 $$ [x,y] $$ $$ = $$ $$ = $$ $$ [1,1] $$ のとき、 $\varphi$ $$ = $$ $\ffd\pi4$ 、 $$ r $$ $$ = $$ $\sqrt2$ 、 $$ A_r $$ $$ = $$ $\sqrt2$ 、 $A_\varphi$ $$ = $$ $$ 0 $$ となる。
すなわち、 $((r, \varphi))$ $$ = $$ $((\sqrt2, \ffd\pi4))$ $\neq$ $(\sqrt2, 0)$ $$ = $$ $(A_r, A_\varphi)$ である。

本記事では、区別のため回転座標系自体の回転角を $\theta$ 、回転座標系の軸を $$ u,v $$ と別の文字で表しているが、
一般的な流儀では、 $r,\theta$ とを区別せずに同じ文字を流用する。
引用した例では、 $O_{xy}$ はそのまま、 $O_{r\theta}$ $\rightarrow$ $O_{r\varphi}$ 、 $O^\theta_{uv}$ $\rightarrow$ $O^\varphi_{r\varphi}$ という対応になる。

一般に、位置以外で、 $((r, \varphi))$ の代わとしてベクトルで考えたのが $(A_r, A_\varphi)$ である。
導入時を除けば、ベクトル解析で「極座標」と言えば専ら $O^\theta_{uv}$ の $(A_r, A_\varphi)$ を指す。

線形性

ベクトルの線形性と正規直交座標系上での成分表示

線形性とは、自由に足し引きできる性質である。
ベクトルの場合は、厳密に加法と倍の演算を持つ性質を意味する。
線形性を持つ系では数学的に扱い易いため、理工学では好き好んで用いている。

一般に、ベクトル $\:V$ と $\:V'$ の和は、正規直交座標系で成分の和として定義され、
ベクトル $\:V$ にスカラー値の $$ s $$ 倍したベクトル $s\:V$ が正規直交座標系で成分の積として定義される。
$\:V$ $$ = $$ $$ [V_x, V_y] $$ 、 $\:V'$ $$ = $$ $$ [V'_x, V'_y] $$ のとき、

$\:V$ $$ + $$ $\:V'$ $$ = $$ $$ [V_x, V_y] $$ $$ + $$ $$ [V'_x, V'_y] $$ $$ := $$ $$ [V_x + V'_x, V_y + V'_y] $$

$s\:V$ $$ = $$ $$ s $$ $$ [V_x, V_y] $$ $$ := $$ $$ [sV_x, sV_y] $$

具体に、 $\:A$ $$ = $$ $$ [1,0] $$ 、 $\:B$ $$ = $$ $$ [0,1] $$ のとき、

$\:A$ $$ + $$ $\:B$ $$ = $$ $$ [1,0] $$ $$ + $$ $$ [0,1] $$ $$ = $$ $$ [1,1] $$

$2\:B$ $$ = $$ $2\,[1,0]$ $$ + $$ $$ [2,0] $$

基底の線形結合を使ったベクトルの記述は正にこの線形性利用した表記と言える。
正規直交座標系の基底を $\langle$ $\:e_x$ $$ , $$ $\:e_y$ $\rangle$ と置くと、

$\:V$ $$ = $$ $$ [V_x, V_y] $$ $$ = $$ $$ V_x $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ V_y $$ $\:e_y$

$\:V$ $$ + $$ $\:V'$ $$ = $$ $$ ( $$ $$ V_x $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ V_y $$ $\:e_y$ $$ ) $$ $$ + $$ $$ ( V'_x $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ V'_y $$ $\:e_y$ $$ ) $$ $$ = $$ $$ (V_x + V'_x) $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ (V_y + V'_y) $$ $\:e_y$

$s\:V$ $$ = $$ $$ s $$ $$ ( $$ $$ V_x $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ V_y $$ $\:e_y$ $$ ) $$ $$ = $$ $$ ( $$ $$ sV_x $$ $$ ) $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ ( $$ $$ sV_y $$ $$ ) $$ $\:e_y$ $$ = $$ $\:e_x$ $$ + $$ $\:e_y$

成分である $$ V_x $$ と $$ V_y $$ がスカラーで、基本ベクトル $\:e_x$ と $\:e_y$ $$ $$ がベクトルであるため、
$\:e_x$ $$ + $$ $\:e_y$ はベクトルの和と倍の組合わせそのものである。
ベクトル線形性はその更なる和と倍であるため、形式的には単純な分配法則になっている。

具体に、

$\:A$ $$ = $$ $$ [1,0] $$ $$ = $$ $$ 1 $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ 0 $$ $\:e_y$ $$ = $$ $\:e_x$

$\:B$ $$ = $$ $$ [0,1] $$ $$ = $$ $$ 0 $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ 1 $$ $\:e_y$ $$ = $$ $\:e_y$

$\:A$ $$ + $$ $\:B$ $$ = $$ $$ ( $$ $$ 1 $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ 0 $$ $\:e_y$ $$ ) $$ $$ + $$ $$ ( $$ $$ 0 $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ 1 $$ $\:e_y$ $$ ) $$ $$ = $$ $$ (1+0) $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ (0+1) $$ $$ $$ $\:e_y$ $$ = $$ $$ $$ $\:e_x$ $$ + $$ $\:e_y$

$2\:B$ $$ = $$ $$ 2 $$ $$ ( $$ $$ 1 $$ $\:e_x$ $$ + $$ $$ 0 $$ $\:e_y$ $$ ) $$ $$ = $$ $(2\times1)$ $\:e_x$ $$ + $$ $(2\times0)$ $\:e_y$ $$ = $$ $2\:e_x$

極座標系と回転座標系

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