線形演算子で繋がる特性方程式

背景

数学では「特性方程式」という言葉が次の異なる分野で登場する：

（高校）数列：数列の漸近式を解くのに使われる。
（大学）微分：微分の方程式を解くのに使われる。
（大学）行列：行列の固有値を求める際に出くわす。

これらは互いに繋がってはいる。
しかし別々に学ぶためか、繋がるように説明されない場合が多い。
数列を学ぶときは、微分も行列も知らないから仕方ないとして、
微分は微分、行列は行列と、これらもわざわざ数列と比較することが少ない。

また、実際問題として、数列では特性方程式を手段として覚えさせるも、
上手く行く理由の説明が不十分だったりと、簡単に比較できない状態に多い。
「 $$ a_n $$ と $a_{n+1}$ を $\alpha$ と置いて解くのを覚えろ」*1は手順だけなのが論外として、
「等比数列の漸化式に変形する」説明*2 *3 *4もまだ具体すぎて、本質が見え難い。

本質は線形性である。
数列さえ線形演算として見れたら、３つの特性方程式が簡単に繋がる。
微分方程式は線形常微分方程式に限られるし、行列は言わずも線形である。

以下に、数列の漸化式を線形演算として捉え、
数列、微分、行列における３つの特性方程式を統一的に扱ってみる。

*1 例：教科書より詳しい高校数学 https://yorikuwa.com/m5120/
*2 例：おいしい数学 https://mathsuke.jp/characteristic-equation-recurrence/
*3 例：東大塾長の理系ラボ https://rikeilabo.com/bacis-recurrence-formula-list
*4 例：ＵＢＱ数理フォーラム https://ameblo.jp/ubqubq/entry-11553388315.html

各論

まずは現状の確認として、本節では各概念を簡単に説明する。

数列の線形漸化式と特性方程式による解法

等差数列と等比数列の漸化式

高校で数列を扱う際に、等差数列、等比数列、漸化式の順に習う。
等差数列は、初項 $$ a_0 $$ 、公差 $$ a $$ の数列 $$ , $$ $$ + $$ $$ d $$ $$ , $$ $$ + $$ $$ 2d $$ $,\cdots,$ $$ + $$ $$ dn $$ $,\cdots$ 。
等比数列は、初項、公差 $$ a $$ の数列 $$ , $$ $\times$ $$ r $$ $$ , $$ $\times$ $$ 2r $$ $,\cdots,$ $\times$ $$ r^n $$ $,\cdots$ 。

これらはそのまま単純な漸化式として捉えることができる。
等差数列は、初項 $$ a_0 $$ 、漸化式 $a_{n_+1}$ $$ = $$ $$ a_n $$ $$ + $$ $$ d $$ で与えられる数列。
等比数列は、初項、漸化式 $a_{n_+1}$ $$ = $$ $\times$ $$ r $$ で与えられる数列。

１次線形漸化式

問題はこれらを合わせた漸化式 $a_{n+1}$ $$ = $$ $$ a_n $$ $\times$ $$ p $$ $$ + $$ $$ q $$ $$ = $$ $$ p $$ $$ + $$ $$ q $$ を持つ数列。
定番解法は、 $a_{n+1}$ とを $\alpha$ に置き換えた特性方程式を解く*5。
すると、元の漸化式から特性方程式の辺々を引けば、等比数列の漸化式に帰着する。

漸化式：	$a_{n+1}$	$\hspace{2em}$
特性方程式：	$\phantom{a_{n+1}}$ $\phantom-$ $\alpha$	$\alpha$ $\hspace{2em}$
等式変形：	$a_{n+1}$ $\alpha$	$(a_n - \alpha)$

ここで、数列 ${b_n}$ $$ = $$ ${a_n - \alpha}$ を考えば、初項 $$ b_0 $$ $$ = $$ $a_0 - \alpha$ 、公比 $$ p $$ の数列のため、
その一般項は、

$$ b_n $$ $$ = $$ $$ b_0 $$ $$ p^n $$ 、すなわち、 $$ = $$ $$ a_n $$ $$ - $$ $\alpha$ $$ = $$ $(a_0 - \alpha)$

$\alpha$ を移項すれば、 ${a_n}$ の一般項が求まる。

$$ a_n $$ $$ = $$ $$ b_n $$ $$ + $$ $\alpha$ $$ = $$ $(a_0 - \alpha)$ $$ p^n $$ $$ + $$ $\alpha$

$\neq$

でない限り、 $a_{n+1}$ $\neq$ $$ a_n $$ が自明であり、決して「 $a_{n+1}$ $$ = $$ $$ = $$ $\alpha$ と置く」意味でないことに注意。ここ良く誤解される。あくまでも似てるが無関係な方程式を創り出している。

２次線形漸化式

連続３項の漸化式として、 $a_{n+2}$ $$ + $$ $$ p $$ $a_{n+1}$ $$ + $$ $$ q $$ $a_{n}$ $$ = $$ $$ 0 $$ のタイプの問題も高校で扱う。
解き方は、 $a_{n+2}$ を $$ t^2 $$ 、 $a_{n+1}$ を $$ t $$ 、 $$ a_n $$ を $$ 1 $$ に差し替えた特性方程式 $$ + $$ $$ p $$ $$ t $$ $$ + $$ $$ q $$ $$ = $$ $$ 0 $$ を解き、
その解を $\alpha$ と $\beta$ と置けば*6、特性方程式が $(t - \alpha)$ $(t - \beta)$ $$ = $$ $$ 0 $$ となる。

すると、解と係数の関係で $$ p $$ $$ = $$ $$ - $$ $\alpha$ $$ - $$ $\beta$ 、 $$ q $$ $$ = $$ $\alpha$ $\beta$ と言えるので、これを利用して、
漸化式を数列 ${a_n}$ と $\alpha$ の式と、公比が $\beta$ の漸近式に分離した形に変形できる。

$a_{n+2}$ $$ - $$ $(\alpha + \beta)$ $a_{n+1}$ $$ + $$ $\alpha$ $\beta$ $$ a_n $$ $$ = $$ $$ 0 $$

$\Leftrightarrow$ $$ ( $$ $a_{n+2}$ $$ - $$ $\alpha$ $a_{n+1}$ $$ ) $$ $$ - $$ $\beta$ $$ ( $$ $a_{n+1}$ $$ - $$ $\alpha$ $$ a_n $$ $$ ) $$ $$ = $$ $$ 0 $$

$\Leftrightarrow$ $$ ( $$ $a_{n+2}$ $$ - $$ $\alpha$ $a_{n+1}$ $$ ) $$ $$ = $$ $\beta$ $$ ( $$ $a_{n+1}$ $$ - $$ $\alpha$ $$ a_n $$ $$ ) $$

同様に、 $\alpha$ と $\beta$ が対称的なので、逆に扱った変換もできて、

$\Leftrightarrow$ $$ ( $$ $a_{n+2}$ $$ - $$ $\beta$ $a_{n+1}$ $$ ) $$ $$ = $$ $\alpha$ $$ ( $$ $a_{n+1}$ $$ - $$ $\beta$ $$ a_n $$ $$ ) $$

それぞれから等比数列を出して、

$$ ( $$ $a_{n+1}$ $$ - $$ $\alpha$ $a_{n}$ $$ ) $$ $$ = $$ $$ ( $$ $$ a_1 $$ $$ - $$ $\alpha$ $$ a_0 ) $$ $\beta ^n$

$$ ( $$ $a_{n+1}$ $$ - $$ $\beta$ $a_{n}$ $$ ) $$ $$ = $$ $$ ( $$ $$ a_1 $$ $$ - $$ $\beta$ $$ a_0 ) $$ $\alpha^n$

さらに数列の差を取れば、

$$ ( $$ $\beta$ $$ - $$ $\alpha$ $$ ) $$ $a_{n}$ $$ = $$ $$ ( $$ $$ a_1 $$ $$ - $$ $\beta$ $$ a_0 ) $$ $\alpha^n$ $$ - $$ $$ ( $$ $$ - $$ $\alpha$ $\beta ^n$

よって、

$a_{n}$ $$ = $$ $\ffd{(a_1 - \beta\,a_0) \alpha^n - (a_1 - \alpha\,a_0) \beta^n }{\beta - \alpha}$

*6 いわゆる解なしの場合も虚数解を認めば解けるが、複素数を知らない高校生では軽く詰む。
　　参考：数学キノシタの家庭教師な日々： https://eisuukinoshita.hatenablog.com/entry/20170308/1488930649。

定数係数線形常微分方程式と特性方程式による解法

定数係数線形常微分方程式

一般に微分可能な１変数関数 $$ y(x) $$ を $$ x $$ を $$ n $$ 回微分した $\ddd{^ny}{x^n}$ を全て $$ y $$ の常微分と言い、
常微分の線形結合 $\sum_{k=0}^n$ $$ a_k $$ $\ddd{^ky}{x^k} =$ $$ f(x) $$ を線形常微分方程式と呼ぶ。
全てのが $$ x $$ に対して定数である場合、定数係数線形常微分方程式と呼ぶ。

要は具体に、

１階定数係数線形常微分方程式は		$\ddd{y(x)}{x}$
２階定数係数線形常微分方程式は	$\ddd{^2y(x)}{x^2}$	$\ddd{y(x)}{x}$

煩わしいので、一般的には $$ (x) $$ を省き、最高階の係数を $$ 1 $$ とし、微分演算子 $$ D $$ $$ = $$ $\ddd{}{x}$ を導入する。

１階定数係数線形常微分方程式：		$\,\phantom{a_1}$
２階定数係数線形常微分方程式：

１階定数係数線形常微分方程式

$$ Dy $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ f $$ は辺々に $e^{a x}$ を掛けることで、単純な微分に変形できる。

$$ Dy $$ $$ = $$ $De^{ax}$ $$ = $$ $$ a $$ $e^{a x}$ のため、


$\Leftrightarrow$ $e^{ax}$ $e^{ax}$ $e^{ax}$
$\Leftrightarrow$ $e^{ax}$ $De^{ax}$ $e^{ax}$
$\Leftrightarrow$ $D(ye^{ax})$ $e^{ax}$	積の微分
$\Leftrightarrow$ $ye^{ax}$ $\int$ $e^{ax}$	が微分演算のため、逆演算の $D^{-1}$ は不定積分。
$\Leftrightarrow$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$

ここで、元の方程式 $$ Dy $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ f $$ は形式的に $$ (D+a) $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ f $$ と書けるので、
以上の結果を以って、線形微分演算子 $$ D+a $$ の逆演算子 $(D+a)^{-1}$ を定義できる。

$(D+a)^{-1}$ $$ $$ $$ f(x) $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ $$ dx $$

２階定数係数線形常微分方程式

特性方程式を利用した標準的な解法は説明するのに大変な労力が要る*7 *8。
一方で、凌宮数学では線形微分演算子 $$ D+a $$ に分解する方法で簡単化ている*9。
そのため、ここは楽して凌宮数学の解法を示す。

２階定数係数線形常微分方程式 $$ D^2y $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ Dy $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ f $$ に対し、
$$ ( $$ $$ D^2 $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ D $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ ) $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ f $$ に変形してから、を $\lambda^2$ 、 $$ D $$ を $\lambda$ 、 $$ f $$ を $$ 0 $$ に差し替えた特性方程式を解く。

特性方程式 $\lambda^2$ $$ + $$ $$ a $$ $\lambda$ $$ + $$ $$ b $$ $$ = $$ $$ 0 $$ は二次方程式で、
その解を $\alpha$ と $\beta$ と置けば、以下の解と係数の関係が成り立つ。

$\lambda^2$ $$ + $$ $$ a $$ $\lambda$ $$ + $$ $$ b $$ $$ = $$ $\lambda^2$ $$ - $$ $(\alpha + \beta)$ $\lambda$ $$ + $$ $\alpha \beta$ $$ = $$ $(\lambda - \alpha)$ $(\lambda - \beta)$

ただし、

$$ a $$ $$ = $$ $-(\alpha + \beta)$

$$ b $$ $$ = $$ $\alpha \beta$

この関係を使えば、２階の線形微分演算子を同様に１階線形微分演算子の合成に分解できる。

$$ D^2 $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ D $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ = $$ $$ - $$ $(\alpha + \beta)$ $$ D $$ $$ + $$ $\alpha \beta$ $$ = $$ $(D - \alpha)$ $(D - \beta)$

よって、

$$ ( $$ $$ D^2 $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ D $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ ) $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ f $$

$\Leftrightarrow$ $(D - \alpha)$ $(D - \beta)$ $$ y $$ $$ = $$ $$ f $$

これを１階線形微分演算子の逆演算として解けば入れ子の積分になる。

$\Leftrightarrow$ $(D - \beta)$ $$ y $$ $$ = $$ $(D - \alpha)^{-1}$ $$ f $$

$\Leftrightarrow$ $$ y $$ $$ = $$ $(D - \beta)^{-1}$ $(D - \alpha)^{-1}$ $$ f $$

$\Leftrightarrow$ $$ y $$ $$ = $$ $e^{-\beta x}$ $\int$ $e^{\beta x}$ $e^{-\alpha x}$ $\int$ $e^{\alpha x}$ $$ f $$ $$ dx $$ *10

あとは積分定数も忘れずに積分するだけで解ける*11。

*7 Matsuda's Web Page/（高専生のための）微分方程式解法ノート/2. 簡単な線形微分方程式>http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi2.pdf
*8 Matsuda's Web Page/（高専生のための）微分方程式解法ノート/3. 線形微分方程式の特殊解の求め方>http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi3.pdf
*9 http://limg.sakura.ne.jp/LimgMath/index.php?%C4%EA%BF%F4%B7%B8%BF%F4%A3%B2%B3%AC%C0%FE%B7%C1%BE%EF%C8%F9%CA%AC%CA%FD%C4%F8%BC%B0
*10 積分対象の範囲に注意。括弧で明記すると $e^{-\beta x}$ $\int$ $\Big($ $e^{\beta x}$ $e^{-\alpha x}$ $\int$ $\Big($ $e^{\alpha x}$ $$ f $$

$\Big)$ $\Big)$ のようになる。
*11 と言うのも、標準解法では積分定数を書かないようない例外的な扱いをするから。