$$\end{align*} \def\co{\cos\theta} \def\so{\sin\theta} \def\cco{\cos^2\theta} \def\sso{\sin^2\theta} \def\cdo{\cos2\theta} \def\sdo{\sin2\theta} \def\ppr{\dfrac{\partial}{\partial r}} \def\ppo{\dfrac{\partial}{\partial \theta}} \def\pprr{\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}} \def\ppoo{\dfrac{\partial^2}{\partial \theta^2}} \def\ppro{\dfrac{\partial^2}{\partial r \partial \theta}} \def\ppor{\dfrac{\partial^2}{\partial \theta \partial r}} \def\ttt#1#2#3{\dfrac{#1}{#2}#3} \def\btt#1#2{\left({#1#2}\right)} \def\bttt#1#2#3{\left(\ttt#1#2#3\right)} \begin{align*} (\mathrm{I}) &= \co\ppr \btt\co\ppr - \co\ppr \bttt\so{r}\ppo - \ttt\so{r}\ppo \btt\co\ppr + \dfrac{\so}{r}\ppo \bttt\so{r}\ppo \\&= \cco\pprr + \ttt\sdo{2r^2}\ppo - \ttt\sdo{2r}\ppro + \ttt\sso{r}\ppr - \ttt\sdo{2r}\ppor + \ttt\sdo{2r^2}\ppo + \ttt\sso{r^2}\ppoo \\&= \cco\pprr + \ttt\sso{ r^2}\ppoo - \ttt\sdo{ r}\ppro + \ttt\sso{r}\ppr + \ttt\sdo{r^2}\ppo \\ (\mathrm{II}) &= \so\ppr \btt\so\ppr + \so\ppr \bttt\co{r}\ppo + \ttt\co{r}\ppo \btt\so\ppr + \dfrac{\co}{r}\ppo \bttt\co{r}\ppo \\&= \sso\pprr + \ttt\sdo{2r^2}\ppo + \ttt\sdo{2r}\ppro + \dfrac1r \cco\ppr + \ttt\sdo{2r}\ppor - \ttt\sdo{2r^2}\ppo + \ttt\cco{r^2}\ppoo \\&= \sso\pprr + \ttt\cco{ r^2}\ppoo + \ttt\sdo{ r}\ppro + \ttt\cco{r}\ppr - \ttt\sdo{r^2}\ppo $$
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