1階線形常微分方程式 のバックアップ(No.5) |
1階線形常微分方程式はの形をした微分方程式である。 解の公式は次の積分式で与えられる:
暗記さえできれば、定数係数で1階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。 これらに対し、凌宮数学では、2階ないし階の線形常微分方程式に繋がるような、 考え方積分で解く一般に、ある関数の常微分が分かれば、不定積分で解けることが分かっている*3。
の場合は、左辺をに纏めらると、積分で解ける。 1つの微分に纏める「」を消すには、等号の片方に「」が1つ、他方に「」が無い公式が必要である。 しかし、をと比較しても、 積分因子を掛ける上記の試算はの縛りが厳しすぎるため、となり、を満せなくなっている。 の係数をにするには、単純に全ての項にを掛ければ良い: 一般に、積分するために掛ける関数を積分因子、積分因子を掛ける手法を積分因子法と呼ぶ。 をと比較すると、なるを探せば良いことが分かる。
今、はを満たせば良いので、以降では簡単そうなを積分因子に選ぶ。 略解例以上で解く筋道が通る:
この筋道を逆から書けば「解答」となる:
線形微分演算子 【編集中】原方程式は、と括れば、 以下のように1階線形常微分演算子を定義すると、演算と演算対象に明示的に分離できる。
そうすると、上記解答は次のように見える:
上記の解き方では、とでは単純な微分・積分の関係にならないため、
まとめ・つなぎ |