$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ EditToHeaderToFooter

1階線形常微分方程式は$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$の形をした微分方程式である。
ここで、$$ y $$$$ R $$$$ x $$の関数$$ y(x) $$$$ R(x) $$で、係数$$ a $$$$ x $$を含んでも良く、含まなくても良い*1
左辺が1階常微分$$ \ddd{y}{x} $$と(0階常微分)$$ y $$の線形結合であるため、1階線形常微分方程式と呼ばれる。

解の公式は次の積分式で与えられる:

定数係数: $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$  ⇒  $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} R\, dx $$*2

変数係数: $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$  ⇒  $$ y $$$$ = $$$$ e^{-A} $$$$ \int $$$$ e^{A} R\, dx $$  ただし、$$ A $$$$ = $$$$ \int $$$$ a $$$$ dx $$

暗記さえできれば、定数係数で1階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
しかし問題は、丸暗記では前後に習得する知識と繋がらず、全体を効率良く学べない。
特に、直後に学ぶ定数係数階線形常微分方程式は、階を応用で簡単に解けてしまう。

これらに対し、凌宮数学では、2階ないし$$ N $$階の線形常微分方程式に繋がるような、
学習済み知識に基づいた1階線形常微分方程式のもう少し考え易い解き方を与える。

*1 $$ a $$$$ x $$に対して定数の場合は、定数係数1階線形常微分方程式と呼ばれる。
*2 $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \Big( $$$$ \int $$$$ e^{ax} R dx $$$$ + $$$$ C $$$$ \Big) $$と積分定数を明示する流儀もあるが、煩雑になるため凌宮数学では書かない。

考え方 EditToHeaderToFooter

積分で解く EditToHeaderToFooter

一般に、ある関数$$ F $$$$ = $$$$ F(x) $$の常微分$$ \ddd{F}{x} $$が分かれば、不定積分で解けることが分かっている*3

$$ \ddd{F}{x} $$$$ = $$$$ f $$ ⇔ $$ F $$$$ = $$$$ \int f dx $$*4

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$の場合は、左辺$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ \ddd{F}{x} $$に纏めらると、積分で解ける。
そのため、まずは$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$の「$$ + $$」を消したい。

*3 ここで、「解ける」とは「微分を無くせる」つまり「微分方程式で無くせる」意味である。得られる不定積分が計算できる保障はない。
*4 $$ F $$$$ = $$$$ F(x) $$$$ f $$$$ = $$$$ f(x) $$

1つの微分に纏める EditToHeaderToFooter

$$ + $$」を消すには、等号の片方に「$$ + $$」が1つ、他方に「$$ + $$」が無い公式が必要である。
高校範囲で探す限り、等号の左右で「$$ + $$」の数が異なるのは積の微分しかない*5

しかし、$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$と比較しても、
$$ q $$$$ = $$$$ y $$が嵌るものの、$$ p $$$$ = $$$$ 1 $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ a $$を同時に満たす$$ p $$は存在しない*7
このため、$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$に嵌るように、$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$を調節する必要がある。

*5 総当り気味になっているが、「積の微分」が持つ「$$ + $$の数を変える」性質を覚える学び方をしていれば総当りで無くなる。
*6 $$ p $$$$ = $$$$ p(x) $$$$ q $$$$ = $$$$ q(x) $$
*7 $$ p $$$$ = $$$$ 1 $$の時点で$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$となってしまうため、$$ a $$$$ = $$$$ 0 $$でない限り無理。

積分因子を掛ける EditToHeaderToFooter

上記の試算は$$ p $$$$ = $$$$ 1 $$の縛りが厳しすぎるため、$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$となり、$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ a $$を満せなくなっている。
そのため、例えば$$ p $$$$ = $$$$ p(x) $$と自由にすれば、$$ \ddd{p}{x} $$$$ a $$の方の条件に合わせば解ける。

$$ \ddd{y}{x} $$の係数を$$ p $$にするには、単純に全ての項に$$ p $$を掛ければ良い:

$$ p $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ apy $$$$ = $$$$ pR $$

一般に、積分するために掛ける関数$$ p $$を積分因子、積分因子を掛ける手法を積分因子法と呼ぶ。
積分因子法は、微分関係を比較的自由に調節できるため、微分方程式に良く利く。

$$ p $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ apy $$$$ = $$$$ pR $$$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$と比較すると、$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ ap $$なる$$ p $$を探せば良いことが分かる。
幸い、これは変数分離形という易しい類の微分方程式であるため、簡単に求まる:

$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ ap $$

$$ p = p(x) $$に関する変数分離形の常微分方程式

⇔ $$ \ffd{dp}{p} $$$$ = $$$$ a $$$$ dx $$

変数分離

⇔  $$ \int \ffd{dp}{p} $$$$ = $$$$ \int $$$$ a $$$$ dx $$

不定積分

⇔  $$ \log_e |p| $$$$ = $$$$ A $$$$ + $$$$ k $$

積分実行、原始関数を$$ A $$$$ = $$$$ A(x) $$、積分定数を$$ k $$とする*8

⇔  $$ p $$$$ = $$$$ \pm e^{A + k} $$

両辺で指数を取る

⇔  $$ p $$$$ = $$$$ \pm e^{k} $$$$ e^A $$

指数法則で定数部を分離

今、$$ p $$$$ \pm e^{k} $$$$ e^A $$を満たせば良いので、以降では簡単そうな$$ e^A $$を積分因子に選ぶ。
定数係数の場合は$$ A $$$$ = $$$$ \int $$$$ a $$$$ dx $$$$ = $$$$ a $$$$ \int $$$$ dx $$$$ = $$$$ ax $$になり、積分因子は$$ e^{ax} $$となる。

*8 左辺の積分からも積分定数が出てくるが、右辺に移項して「任意定数−任意定数=任意定数」と纏められるため、省略。

略解例 EditToHeaderToFooter

以上で解く筋道が通る:

  • 微分方程式を解くために積分すれば良い
  • 積分するために1つの微分に纏めれば良い
  • 纏めるために積分因子を掛ければ良い
  • 積分因子は上記の方法で見つけば良い

この筋道を逆から書けば「解答」となる:

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

原方程式

⇔ $$ e^A $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ae^A $$$$ y $$$$ = $$$$ e^A $$$$ R $$

両辺に積分因子$$ e^A $$を掛ける、ただし$$ A $$$$ = $$$$ \int $$$$ a $$$$ dx $$

⇔ $$ e^A $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{(e^A)}{x} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^A $$$$ R $$

積の微分に嵌める(不定積分を実行)

⇔ $$ \ddd{(e^A y)}{x} $$$$ = $$$$ e^A $$$$ R $$

1つの微分に纏める(部分積分を実行)

⇔ $$ e^A y $$$$ = $$$$ \int $$$$ e^A $$$$ R $$$$ dx $$

積分する

⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-A} $$$$ \int $$$$ e^A $$$$ R $$$$ dx $$

両辺に$$ e^{-A} $$を掛けて$$ y $$の式に整理

線形微分演算子 【編集中】 EditToHeaderToFooter

原方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$は、$$ \bigg( \ddd{}{x} + ay \Big) $$$$ y $$$$ = R $$と括れば、
未知関数$$ y $$から既知関数$$ R $$を求める少々複雑な微分演算にも見える。

以下のように1階線形常微分演算子$$ D_a $$を定義すると、演算$$ D_a $$と演算対象$$ y $$に明示的に分離できる。

1階線形常微分演算子$$ D_a $$$$ \equiv $$$$ \bigg( \ddd{}{x} + a \Big) $$

1階線形常微分方程式$$ D_a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$  ⇔  $$ \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$  ⇔  $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

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Last-modified: 2014.0618 (水) 0523.3500 (1220d)