１階線形常微分方程式 < 凌宮数学 (LimgMath)

$\ddd{y}{x} + ay = R$

１階線形常微分方程式は $\ddd{y}{x} + ay = R$ の形をした微分方程式である。
ここで、 $$ y $$ と $$ R $$ は $$ x $$ の関数 $$ y(x) $$ と $$ R(x) $$ で、係数 $$ a $$ は $$ x $$ を含んでも良く、含まなくても良い*1。
左辺が１階常微分 $\ddd{y}{x}$ と（0階常微分） $$ y $$ の線形結合であるため、１階線形常微分方程式と呼ばれる。

解の公式は次の積分式で与えられる：

定数係数：　 $\ddd{y}{x} + ay = R$ 　　⇒　　 $$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax} R\, dx$ *2

変数係数：　 $\ddd{y}{x} + ay = R$ 　　⇒　　 $$ y $$ $$ = $$ $e^{-A}$ $\int$ $e^{A} R\, dx$ 　　ただし、 $$ A $$ $$ = $$ $\int$ $$ a $$ $$ dx $$

暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
しかし問題は、丸暗記では前後に習得する知識と繋がらず、全体を効率良く学べない。
特に、直後に学ぶ定数係数２階線形常微分方程式は、１階を応用で簡単に解けてしまう。

これらに対し、凌宮数学では、２階ないし $$ N $$ 階の線形常微分方程式に繋がるような、
学習済み知識に基づいた１階線形常微分方程式のもう少し考え易い解き方を与える。

が

に対して定数の場合は、定数係数１階線形常微分方程式と呼ばれる。
*2 $$ y $$

$e^{-ax}$ $\Big($ $\int$ $e^{ax} R dx$ $$ + $$ $$ C $$ $\Big)$ と積分定数を明示する流儀もあるが、煩雑になるため凌宮数学では書かない。

考え方

積分で解く

一般に、ある関数 $$ F $$ $$ = $$ $$ F(x) $$ の常微分 $\ddd{F}{x}$ が分かれば、不定積分で解けることが分かっている*3。

$\ddd{F}{x}$ $$ = $$ $$ f $$ 　⇔　 $$ F $$ $$ = $$ $\int f dx$ *4

$\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ ay $$ $$ = $$ $$ R $$ の場合は、左辺 $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ を $\ddd{F}{x}$ に纏めらると、積分で解ける。
そのため、まずは $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ の「 $$ + $$ 」を消したい。

*3 ここで、「解ける」とは「微分を無くせる」つまり「微分方程式で無くせる」意味である。得られる不定積分が計算できる保障はない。
*4 $$ F $$ $$ = $$ $$ F(x) $$ 、 $$ f $$

。

１つの微分に纏める

「 $$ + $$ 」を消すには、等号の片方に「 $$ + $$ 」が１つ、他方に「 $$ + $$ 」が無い公式が必要である。
高校範囲で探す限り、等号の左右で「 $$ + $$ 」の数が異なるのは積の微分しかない*5：

$\ddd{(pq)}{x}$ $$ = $$ $$ p $$ $\ddd{q}{x}$ $$ + $$ $\ddd{p}{x}$ $$ q $$ *6

しかし、 $$ p $$ $\ddd{q}{x}$ $$ + $$ $\ddd{p}{x}$ $$ q $$ を $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ ay $$ と比較しても、
$$ q $$ $$ = $$ $$ y $$ が嵌るものの、 $$ p $$ $$ = $$ $$ 1 $$ と $\ddd{p}{x}$ $$ = $$ $$ a $$ を同時に満たす $$ p $$ は存在しない*7。
このため、 $$ p $$ $\ddd{q}{x}$ $$ + $$ $\ddd{p}{x}$ $$ q $$ に嵌るように、 $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ ay $$ を調節する必要がある。

*5 総当り気味になっているが、「積の微分」が持つ「 $$ + $$ の数を変える」性質を覚える学び方をしていれば総当りで無くなる。
*6 $$ p $$

、

。
*7

の時点で $\ddd{p}{x}$ $$ = $$ $$ 0 $$

となってしまうため、 $$ a $$

でない限り無理。

積分因子を掛ける

上記の試算は $$ p $$ $$ = $$ $$ 1 $$ の縛りが厳しすぎるため、 $\ddd{p}{x}$ $$ = $$ $$ 0 $$ となり、 $\ddd{p}{x}$ $$ = $$ $$ a $$ を満せなくなっている。
そのため、例えば $$ p $$ $$ = $$ $$ p(x) $$ と自由にすれば、 $\ddd{p}{x}$ を $$ a $$ の方の条件に合わせば解ける。

$\ddd{y}{x}$ の係数を $$ p $$ にするには、単純に全ての項に $$ p $$ を掛ければ良い：

$$ p $$ $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ apy $$ $$ = $$ $$ pR $$

一般に、積分するために掛ける関数 $$ p $$ を積分因子、積分因子を掛ける手法を積分因子法と呼ぶ。
積分因子法は、微分関係を比較的自由に調節できるため、微分方程式に良く利く。

$$ p $$ $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ apy $$ $$ = $$ $$ pR $$ を $$ p $$ $\ddd{q}{x}$ $$ + $$ $\ddd{p}{x}$ $$ q $$ と比較すると、 $\ddd{p}{x}$ $$ = $$ $$ ap $$ なる $$ p $$ を探せば良いことが分かる。
幸い、これは変数分離形という易しい類の微分方程式であるため、簡単に求まる：

$\ddd{p}{x}$	に関する変数分離形の常微分方程式
⇔　 $\ffd{dp}{p}$	変数分離
⇔　 $\int \ffd{dp}{p}$ $\int$	不定積分
⇔　 $\log_e \|p\|$	積分実行、原始関数を、積分定数をとする*8
⇔　 $\pm e^{A + k}$	両辺で指数を取る
⇔　 $\pm e^{k}$	指数法則で定数部を分離

今、 $$ p $$ は $\pm e^{k}$ $$ e^A $$ を満たせば良いので、以降では簡単そうなを積分因子に選ぶ。
定数係数の場合は $$ A $$ $$ = $$ $\int$ $$ a $$ $$ dx $$ $$ = $$ $$ a $$ $\int$ $$ = $$ $$ ax $$ になり、積分因子は $e^{ax}$ となる。

*8 左辺の積分からも積分定数が出てくるが、右辺に移項して「任意定数－任意定数＝任意定数」と纏められるため、省略。

略解例

以上で解く筋道が通る：

微分方程式を解くために積分すれば良い
積分するために１つの微分に纏めれば良い
纏めるために積分因子を掛ければ良い
積分因子は上記の方法で見つけば良い

この筋道を逆から書けば「解答」となる：

$\ddd{y}{x}$	原方程式
⇔　 $\ddd{y}{x}$	両辺に積分因子を掛ける、ただし $\int$
⇔　 $\ddd{y}{x}$ $\ddd{(e^A)}{x}$	積の微分に嵌める（不定積分を実行）
⇔　 $\ddd{(e^A y)}{x}$	１つの微分に纏める（部分積分を実行）
⇔　 $\int$	積分する
⇔　 $e^{-A}$ $\int$	両辺に $e^{-A}$ を掛けての式に整理