定数係数４階線形常微分方程式

$\ddd{^4y}{x^4}$ $\ddd{^3y}{x^3}$ $\ddd{^2y}{x^2}$ $\ddd{y}{x}$ $e^{2x}$

固有値が重根１つ、虚根２つ、非同次形、非共鳴

定数係数２階線形常微分方程式の考え方は、定数係数４階線形常微分方程式にも容易に応用できる。

$\ddd{^4y}{x^4}$ $\ddd{^3y}{x^3}$ $\ddd{^2y}{x^2}$ $\ddd{y}{x}$ $e^{2x}$
⇔ $\bigg($ $\ddd{^4}{x^4}$ $\ddd{^3}{x^3}$ $\ddd{^2}{x^2}$ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $e^{2x}$	式1：線形常微分演算子化
⇔ 　　　 $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)$ $e^{2x}$	式2：線形常微分演算子の因数分解
⇔ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)^{\!-1}\!\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)^{\!-1}\!\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^{\!-1}\!\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^{\!-1}$ $e^{2x}$	式3：逆演算子表記
⇔ $\bigg($ $e^{-\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{\:ix}$ $\bigg)\;\;\bigg($ $e^{\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{-\:ix}$ $\bigg)\;\;\bigg($ $e^{x} \!\!\int\! e^{-x}\,$ $\bigg)\;\;\bigg($ $e^{x} \!\!\int\! e^{-x}\,$ $\bigg)$ $e^{2x}$	式4：逆演算子を積分に置換*1
⇔ $e^{-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{x-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! \cdot \!\!\int\! e^{x}$	式5：４回の逐次積分

*1 １階線形常微分方程式の解を利用： $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ k $$

⇔

$e^{-kx}$ $\int$ $e^{kx}$ $$ h $$

以下からは具体的な積分計算が始まる。 $C_\ast$ は全て積分定数。

$$ y_1 $$ $$ = $$ $\int\! e^{x}$ $$ dx $$

　　 $$ = $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ C_1 $$

$$ y_2 $$ $$ = $$ $\int\!$ $$ y_1 $$ $$ dx $$ $$ = $$ $\int\!$ $\bigg($ $e^{x}$ $$ + $$ $$ C_1 $$ $\bigg)$

　　 $$ = $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ C_1 $$ $$ x $$ $$ + $$ $$ C_2 $$

$$ y_3 $$ $$ = $$ $\int\!$ $e^{x-\:ix}$ $$ y_2 $$ $$ dx $$ $$ = $$ $\int\!$ $e^{x-\:ix}$ $\bigg($ $e^{x}$ $$ + $$ $$ C_1 $$ $$ x $$ $$ + $$ $$ C_2 $$ $\bigg)$

　　 $$ = $$ $\int\!$ $\bigg($ $e^{2x-\:ix}$ $$ + $$ $$ C_1 $$ $$ x $$ $e^{x-\:ix}$ $$ + $$ $$ C_2 $$ $e^{x-\:ix}$ $\bigg)$ $$ dx $$

　　 $$ = $$ $\ffd1{2-\:i}$ $e^{2x-\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_1}{1-\:i}$ $$ x $$ $e^{x-\:ix}$ $$ - $$ $\ffd{C_1}{(1-\:i)^2}$ $e^{x-\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_2}{1-\:i}$ $e^{x-\:ix}$ $$ + $$ $$ C_3 $$ 　| *2

$\int\!$ $e^{2\:ix}$
$\int\!$ $e^{2\:ix}$ $\bigg($ $\ffd1{2-\:i}$ $e^{2x-\:ix}$ $\ffd{C_1}{1-\:i}$ $e^{x-\:ix}$ $\ffd{C_1}{(1-\:i)^2}$ $e^{x-\:ix}$ $\ffd{C_2}{1-\:i}$ $e^{x-\:ix}$ $\bigg)$
$\int\!$ $\bigg($ $\ffd1{2-\:i}$ $e^{2x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{1-\:i}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{(1-\:i)^2}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_2}{1-\:i}$ $e^{x+\:ix}$ $e^{2\:ix}$ $\bigg)$
$\ffd1{(2-\:i)(2+\:i)}$ $e^{2x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{1-\:i}$ $\bigg($ $\ffd1{1+\:i}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd1{(1+\:i)^2}$ $e^{x+\:ix}$ $\bigg)$ 　　　　　　 $\ffd{C_1}{(1-\:i)^2(1+\:i)}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_2}{(1-\:i)(1+\:i)}$ $e^{x+\:ix} +$ $\ffd{C_3}{2\:i}$ $e^{2\:ix}$
$\ffd15$ $e^{2x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{2}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{2(1+\:i)}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{2(1-\:i)}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_2}{2}$ $e^{x+\:ix} +$ $\ffd{C_3}{2\:i}$ $e^{2\:ix}$	*3
$\ffd15$ $e^{2x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{2}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{2}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_2}{2}$ $e^{x+\:ix} +$ $\ffd{C_3}{2\:i}$ $e^{2\:ix}$	*4
$\ffd15$ $e^{2x+\:ix}$ $\ffd{C_1}{2}$ $e^{x+\:ix}$ $\ffd{C_2-C_1}{2}$ $e^{x+\:ix} +$ $\ffd{C_3}{2\:i}$ $e^{2\:ix}$

$y_{\phantom0}$ $$ = $$ $e^{-\:ix}$ $$ y_4 $$

　　 $$ = $$ $e^{-\:ix}$ $\bigg($ $\ffd15$ $e^{2x+\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_1}{2}$ $$ x $$ $e^{x+\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_2-C_1}{2}$ $e^{x+\:ix} +$ $\ffd{C_3}{2\:i}$ $e^{2\:ix}$ $$ + $$ $$ C_4 $$ $\bigg)$

　　 $$ = $$ $\ffd15$ $e^{2x}$ $$ + $$ $\ffd{C_1}{2}$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $\ffd{C_2-C_1}{2}$ $e^{x} +$ $\ffd{C_3}{2\:i}$ $e^{\:ix}$ $$ + $$ $$ C_4 $$ $e^{-\:ix}$

$$ c_1 $$ $$ = $$ $\ffd{C_1}{2}$ 、 $$ c_2 $$ $$ = $$ $\ffd{C_2 - C_1}{2}$ 、 $$ c_3 $$ $$ = $$ $\ffd{C_3}{2\:i}$ 、 $$ c_4 $$ $$ = $$ と置けば、複素係数での解集合が得られる。

$$ y $$ $$ = $$ $\ffd15$ $e^{2x}$ $$ + $$ $$ c_1 $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_3 $$ $e^{\:ix}$ $$ + $$ $$ c_4 $$ $e^{-\:ix}$

複素関数解

*2 部分積分により $\int$ $xe^{ax}$ $$ dx $$ $$ = $$ $\ffd1a$ $xe^{ax}$ $$ - $$ $\ffd1{a^2}$ $e^{ax}$ $$ + C $$
*3 $$ (1-i)(1-i)=2 $$

、

*4 $\ffd1{(1-i)} + \ffd1{(1-i)} = \ffd{(1-i) + (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \ffd22 = 1$

さらに解集合を実係数に限定したければ、 $$ c_3 $$ $e^{\:ix}$ $$ + $$ $$ c_4 $$ $e^{-\:ix}$ を三角関数で表示してから係数を制限すれば良い。

$e^{\:ix}$ $e^{-\:ix}$
$\cos$ $\:i$ $\sin$ $\cos$ $\:i$ $\sin$	*5
$\cos$ $\:i$ $\sin$

改めて $$ c_c $$ $$ = $$ $$ c_3 $$ $$ + $$ $$ c_4 $$ 、 $$ c_s $$ $$ = $$ $$ ( $$ $$ - $$ $$ ) $$ $\:i$ と置いた上で、係数を全て実数に限れば、実数係数での解集合になる。

$$ y $$ $$ = $$ $\ffd15$ $e^{2x}$ $$ + $$ $$ c_1 $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_c $$ $\cos$ $$ x $$ $$ + $$ $$ c_s $$ $\sin$ $$ x $$

実関数解

*5 オイラーの公式： $e^{\:i\theta}$ $$ = $$ $\cos$ $\theta$ $$ + $$ $\;i$ $\sin$ $\theta$

検算

$$ y $$ $$ = $$ $\ffd15$ $e^{2x}$ $$ + $$ $$ c_1 $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_c $$ $\cos$ $$ x $$ $$ + $$ $$ c_s $$ $\sin$ $$ x $$

より、

$\ddd{y}{x}\;$ $$ = $$ $\ffd25$ $e^{2x}$ $$ + $$ $\;\,$ $$ c_1 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ - $$ $$ c_c $$ $\sin$ $$ x $$ $$ + $$ $$ c_s $$ $\cos$ $$ x $$

$\ddd{^2y}{x^2}$ $$ = $$ $\ffd45$ $e^{2x}$ $$ + $$ $$ 2 $$ $$ c_1 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ - $$ $$ c_c $$ $\cos$ $$ x $$ $$ - $$ $$ c_s $$ $\sin$ $$ x $$

$\ddd{^3y}{x^3}$ $$ = $$ $\ffd85$ $e^{2x}$ $$ + $$ $$ 3 $$ $$ c_1 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_c $$ $\sin$ $$ x $$ $$ - $$ $$ c_s $$ $\cos$ $$ x $$

$\ddd{^4y}{x^4}$ $$ = $$ $\ffd{16}5$ $e^{2x}$ $$ + $$ $$ 4 $$ $$ c_1 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_c $$ $\cos$ $$ x $$ $$ + $$ $$ c_s $$ $\sin$ $$ x $$

与式の左辺に代入すると、

$\ddd{^4y}{x^4}$ $$ - $$ $$ 2 $$ $\ddd{^3y}{x^3}$ $$ + $$ $$ 2 $$ $\ddd{^2y}{x^2}$ $$ - $$ $$ 2 $$ $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ y $$

$$ = $$ $\bigg($ $\ffd{16}5$ $$ - $$ $$ 2 $$ $\times$ $\ffd85$ $$ + $$ $$ 2 $$ $\times$ $\ffd45$ $$ - $$ $$ 2 $$ $\times$ $\ffd25$ $$ + $$ $\ffd15$ $\bigg)$ $e^{2x}$
$$ + $$ $\bigg($ $\cancelto{\!\!\!-\bcancel{2}}{4 \,-\, 2 \times 3} \,+ \cancelto{\bcancel{2}}{2 \times 2 \,-\, 2 \times 1} \,+\, 0$ $\bigg)$ $$ c_1 $$ $$ e^x $$
$$ + $$ $\bigg($ $\cancel{1-2+2-2+1}$ $\bigg)$ $$ x $$
$$ + $$ $\bigg($ $\cancel{1-2+2-2+1}$ $\bigg)$ $$ c_2 $$
$$ + $$ $\bigg($ $\cancel{c_c + 2 c_s - 2 c_c - 2 c_s + c_c}$ $\bigg)$ $\cos$ $$ x $$
$$ + $$ $\bigg($ $\cancel{c_s - 2 c_c - 2 c_s + 2 c_c + c_s}$ $\bigg)$ $\sin$ $$ x $$

$$ = $$ $\ffd{\cancel{16-16}+\cancelto{\bcancel{\,5\,}}{8-4+1}}{\bcancel{\,5\,}} \; e^{2x}$

$$ = $$ $e^{2x}$

変数に依らずに右辺に一致するため、得られた解は全て与式を満たす。

簡略化した演算子法

演算子法では線形常微分の因子と解の基底の対応関係から、２階の定数係数常微分方程式の知見を４階の方程式に流用できることが知られている。斉次方程式の一般解は基底と積分定数の線形結合に相当し、特殊解は積分定数を無視した残りの部分に相当する。

具体に、斉次方程式 $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $$ - $$ $$ 1 $$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $$ - $$ $$ 1 $$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $$ - $$ $\:i$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $$ + $$ $\:i$ $\bigg)$ $$ $$ $y_{\iro[red]*} =$ $\iro[ak]{0}$ に関して、

微分因子 $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ を持つため、一般解に基底の項を持つ。
微分因子 $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^2$ を持つため、一般解に基底の項を持つ。
微分因子 $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)$ を持つため、一般解に基底 $\cos$ と $\sin$ の項を持つ。

このため、微分方程式を因数分解できた時点で、斉次方程式の一般解 $$ y_* $$ が直ちに分かる。

⇒ $$ y_* $$ $$ = $$ $$ c_1 $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_c $$ $\cos$ $$ x $$ $$ + $$ $$ c_s $$ $\sin$ $$ x $$

積分定数は一般解で考慮しているため、残る特殊解 $$ y_s $$ は積分定数を無視した不定積分で済ませられる。

$e^{-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{x-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! \cdot \!\!\int\! e^{x}$	$e^{-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{x-\:ix}$ $\cdot e^{x}$
$e^{-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{2x-\:ix}$	$e^{-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix}$ $\cdot$ $\ffd{1}{2-\:i}$ $e^{2x-\:ix}$
$e^{-\:ix}$ $\ffd{1}{2-\:i}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{2x+\:ix}$	$e^{-\:ix}$ $\ffd{1}{2-\:i}$ $\ffd{1}{2+\:i}$ $e^{2x+\:ix}$
$\ffd{1}{2-\:i}$ $\ffd{1}{2+\:i}$ $e^{2x}$
$\ffd15$ $e^{2x}$

もしくは、特殊解は右辺を基底とする項を持つ事実を利用し、 $$ y_s $$ $$ = $$ $$ k $$ $e^{2x}$ と置いて非斉次方程式に放り込んでも特殊解が決まる。

$\bigg($ $\ddd{^4}{x^4}$ $\ddd{^3}{x^3}$ $\ddd{^2}{x^2}$ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $\bigg($ $e^{2x}$ $\bigg)$ $e^{2x}$
$\bigg($ $\ffd{16}5$ $\times$ $\ffd85$ $\times$ $\ffd45$ $\times$ $\ffd25$ $\ffd15$ $\bigg)$	検算と同じ計算
$\bigg($ $\cancel{16-16}$ $\cancelto{5}{8-4+1\;\;}\!\!\!\bigg) \;\cdot$
$\ffd15$
$\ffd15$ $e^{2x}$

これより非斉次方程式の一般解 $$ y $$ を、特殊解 $$ y_s $$ と斉次方程式の一般解 $$ y_* $$ の和として作り出す。

$$ y $$ $$ = $$ $$ y_s $$ $$ + $$ $$ y_* $$ $$ = $$ $\ffd15$ $e^{2x}$ $$ + $$ $$ c_1 $$ $$ x $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_2 $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ c_c $$ $\cos$ $$ x $$ $$ + $$ $$ c_s $$ $\sin$ $$ x $$

定数係数４階線形常微分方程式

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