極限の分割 のバックアップ(No.7) |
背景の証明で、自然底の定義式を2変数関数と見なして、直観的に2段階に分けて極限を取る方法が示されていた。問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。 お題: で示した変換の可否が問題となる。 極限を分割しない方法本題に入る前に、極限操作の分割を回避し、既に利用されている各項で上から抑える発想のみで解く方法を示す。 最初の不等号では、を利用している。例えばである。 次の不等号では、を利用している。例えばである。 極限の分割実行オリジナルの手法では、をに変換している。 実際問題、少なくとも2階微分が可能なほどに滑らかな級の関数であれば、任意方向に滑らかで連続的ということで要件を満たす。 細かい証明を示すには、 2変数関数の分割極限に対し、 もしであれば、 そのため、 利点この手法が優れているのは、直観的な正項級数にあるとも。 残差はからの級数で、さえ括りだせば、他の因数を全てと見なした緩い上端を出せる。 |