三角公式/虚数正弦 のバックアップ(No.1) |
虚数正弦公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点の一つである。なぜ「」になるのか。なぜ「」になるのか。運よく隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に組み立てることができる。 三角公式の場合、オイラーの公式を使えば、とを複素指数で表せる。複素指数の形で三角公式を導出すると、がと一緒に動くのが分かる。そして、を一塊で扱う方が公式が規則的になる。 以下はオイラーの公式と三角関数の指数表示:
これらを使えば全ての三角公式を導ける。例えば、加法定理は次のように導ける:
実部と虚部を別々に比較して版の加法定理を得る: さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る: 表面的ではあるが、版の方では全てに統一しているのに対し、通常版ではの中にが1つだけ混ざっている。問題は、そこに複素数の計算規則があって、はの計算結果である。さらに、とは一緒に動くため、があるところは必ずがあり、「」が付く。よって、次の法則が成り立つ:
次に、通常の三角公式は全て実数である。複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」または「全ての項が実数」を満たす必要がある。純虚数の項ではの数は奇数、実数の項ではの数は偶数になる。これに加え、とは一緒に動くため、に対して言えることは、の数に対しても同じことが言えて、次の法則が成り立つ:
実弦・虚弦名前の問題。従来の余弦や正弦と区別のため、猫式ではを実弦、を虚弦と呼ぶ。 本質の問題。図1に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが、複素数平面上で考えようが、実数値の座標値に過ぎない。一方、図2に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値である。
|