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虚数正弦 $\ci \csin$

公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点である。運よく隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に組み立てることができる。

三角公式の場合は「 $\iro[ak]-$ 」や「 $\csin$ 」になるのには理由が必要だが、答えはオイラーの公式 $e^{\ci \theta}$ $$ = $$ $\ccos \theta$ $$ + $$ $\ci \csin \theta$ を使って次のように $\csin$ と $\ccos$ を複素指数で表すときに現われる $\ci \csin$ に隠されている。

$\left\{ \begin{array}{l} e^{+\bi \theta} = \ccos \theta + \ci \csin \theta \ffdstrut \\ e^{-\bi \theta} = \ccos \theta - \ci \csin \theta \ffdstrut \end{array} \right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} \phantom{\ci} \ccos \theta = \ffd12 \big( e^{+\bi \theta} + e^{-\bi \theta} \big) \\ \ci \csin \theta = \ffd12 \big( e^{+\bi \theta} - e^{-\bi \theta} \big) \end{array} \right.$

これを使えば加法定理は次のように導ける。

$\phantom=$ $\ccos(\alpha \pm \beta)$ $\ci \csin(\alpha \pm \beta)$
$e^{\bi(\alpha \pm \beta)}$	オイラーの公式
$e^{\bi \alpha}$ $\cdot$ $e^{\pm \bi \beta}$	指数法則
$\ccos \alpha$ $\ci \csin \alpha$ $\cdot$ $\ccos \beta$ $\pm$ $\ci \csin \beta$	オイラーの公式
$\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\pm$ $\ccos \alpha$ $\ci \csin \beta$ $\ci \csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\pm$ $\ci \csin \alpha$ $\ci \csin \beta$	展開
$\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\pm$ $\ci \csin \alpha$ $\ci \csin \beta$ $\ci \csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\pm$ $\ccos \alpha$ $\ci \csin \beta$	実部と虚部の分離

実部と虚部を別々に比較して $\ci$ と $\csin$ がセットになっている $\ci \csin$ 版の加法定理を得る：

$\phantom{\ci} \ccos(\alpha \pm \beta)$ $$ = $$ $\phantom{\ci} \ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\pm$ $\ci \csin \alpha$ $\ci \csin \beta$

$\ci \csin(\alpha \pm \beta)$ $$ = $$ $\ci \csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\pm$ $\phantom{\ci} \ccos \alpha$ $\ci \csin \beta$

さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る：

$\ccos(\alpha \pm \beta)$ $$ = $$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\mp$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$

$\csin(\alpha \pm \beta)$ $$ = $$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\pm$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$

表面的ではあるが、 $\ci \csin$ 版の方では全て $\pm$ に統一しているのに対し、通常版では $\pm$ の中に $\mp$ が１つだけ混ざっている。ポイントは $\mp$ は $\ci^2$ の計算結果である。 $\ci$ と $\csin$ が必ず一緒に動くため、 $\csin^2$ の前には必ず $\ci^2$ があって、これが「 $\iro[ak]-$ 」に化ける。このため、次の法則が成立する：

正弦陰性則： $\csin$ が２つ掛け合わせる毎に、項の前に「 $\iro[ak]-$ 」が１つ増える

次に、通常の三角公式は全て実数である。複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」または「全ての項が実数」を満たす必要がある。純虚数の項では $\ci$ の数は奇数、実数の項では $\ci$ の数は偶数になる。これも $\ci$ と $\csin$ が必ず一緒に動くため、 $\ci$ に対して言えることは、 $\csin$ の数に対しても言えて、次の法則が成立する：

正弦奇偶則：正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数」または「全て偶数」

実弦・虚弦

名前の問題。従来の余弦 $\ccos$ や正弦 $\csin$ と区別のため、猫式では $\ccos$ を実数余弦、略して実弦、 $\ci \csin$ を虚数正弦、略して虚弦と呼ぶ。

本質の問題。図１に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが、複素数平面上で考えようが、実数値の座標値に過ぎない。一方、図２に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値そのものである。複素数のことは全て複素数で考えるのが猫式の流派である。 $\csin$ を使った時点でそれが虚数である。

三角関数のように複素数が姿を現わさないところでも、 $\csin$ を $\ci\csin$ に書き換えてるだけで見えない世界が見えてくるようになる。

図１: $\csin$ と $\ccos$

図２: $\ci \csin$ と $\ccos$

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