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三角公式 ── 三角関数の公式

三角関数の公式と言えば、加法定理を始めとし、積和公式と和積公式に、倍角公式と半角公式が続き、 $\sin$ と $\cos$ がごちゃごぎゃした公式群である。丸暗記するには大変で、紛らわしくて間違いやすいのが最悪の特徴と言っても良い。

これも大学で複素数版の指数関数を習えば簡単に導けるようにはなるが、残念ながら、高校の公式に対して楽をしようって話は聞かない。しかし、猫式は楽できるのなら楽をする。簡略のため、以降は、三角関数の公式を三角公式、複素数の指数関数を複素指数と略す。

複素指数から三角公式を導く過程を高速化した結果、複素指数を使わずとも、三角関数の性質に、複素数に代わる単純な法則を２つ追加するだけで三角公式を作り出せる。その結果、もはや真面に計算してなく、公式を導くと言うより、パズルの如く公式を組み立てるような作業になっている。このため、この手法を三角公式組立術と呼ぶ。

これから組み立てる三角公式は以下18本。覚えるとしたら黒字の部分で、他は全て規則に従って組み立てる。なお、通常の公式と異なるのは、符号整理をしていないため。猫式組立術が分かれば、こっちの方が規則的と思えるようになる。

$\phantom{+}$ $\csin(\alpha \clr[ao]+ \beta)$ $$ = $$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[ao]+$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\phantom{+}$ $\csin(\alpha \clr[ak]- \beta)$ $$ = $$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[ak]-$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\phantom{+}$ $\ccos(\alpha \clr[ao]+ \beta)$ $$ = $$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[ak]-$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$
$\phantom{+}$ $\ccos(\alpha \clr[ak]- \beta)$ $$ = $$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[mr]+$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$

$\csin \clr[md]2 \theta$ $$ = $$ $\clr[md]2$ $\csin \theta$ $\ccos \theta$
$\ccos \clr[md]2 \theta$ $$ = $$ $\ccos^{\clr[md]2} \theta$ $\clr[ak]-$ $\csin^{\clr[md]2} \theta$
$\ccos \clr[md]2 \theta$ $$ = $$ $\clr[md]2$ $\ccos^{\clr[md]2} \theta$ $\clr[ak]-$ $\clr[md]1$
$\ccos \clr[md]2 \theta$ $$ = $$ $\clr[md]1$ $\clr[ak]-$ $\clr[md]2$ $\csin^{\clr[md]2} \theta$

$\phantom{=}$ $\ccos^{\clr[md]2}$ $\ffd{\theta}{\clr[md]2}$ $$ = $$ $\ffd{\ccos \theta \, \clr[ao]+ \, \clr[md]{1}}{\clr[md]{2}}$
$\clr[ak]-$ $\csin^{\clr[md]2}$ $\ffd{\theta}{\clr[md]2}$ $$ = $$ $\ffd{\ccos \theta \, \clr[ak]- \, \clr[md]{1}}{\clr[md]{2}}$

$\phantom{+}$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $$ = $$ $\clr[md]{\ffd12}$ $\! \Big( \!$ $\csin(\alpha + \beta)$ $\clr[ao]+$ $\csin(\alpha - \beta)$ $\! \Big)$
$\phantom{+}$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$ $$ = $$ $\clr[md]{\ffd12}$ $\! \Big( \!$ $\csin(\alpha + \beta)$ $\clr[ak]-$ $\csin(\alpha - \beta)$ $\! \Big)$
$\phantom{+}$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $$ = $$ $\clr[md]{\ffd12}$ $\! \Big( \!$ $\ccos(\alpha + \beta)$ $\clr[ao]+$ $\ccos(\alpha - \beta)$ $\! \Big)$
$\clr[ak]-$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$ $$ = $$ $\clr[md]{\ffd12}$ $\! \Big( \!$ $\ccos(\alpha + \beta)$ $\clr[ak]-$ $\ccos(\alpha - \beta)$ $\! \Big)$

$\csin A$ $\clr[ao]+$ $\csin B$ $$ = $$ $\phantom{+}$ $\clr[md]2$ $\csin \ffd{A+B}{\clr[md]2}$ $\ccos \ffd{A-B}{\clr[md]2}$
$\csin A$ $\clr[ak]-$ $\csin B$ $$ = $$ $\phantom{+}$ $\clr[md]2$ $\ccos \ffd{A+B}{\clr[md]2}$ $\csin \ffd{A-B}{\clr[md]2}$
$\ccos A$ $\clr[ao]+$ $\ccos B$ $$ = $$ $\phantom{+}$ $\clr[md]2$ $\ccos \ffd{A+B}{\clr[md]2}$ $\ccos \ffd{A-B}{\clr[md]2}$
$\ccos A$ $\clr[ak]-$ $\ccos B$ $$ = $$ $\clr[ak]-$ $\clr[md]2$ $\csin \ffd{A+B}{\clr[md]2}$ $\csin \ffd{A-B}{\clr[md]2}$

以下は、まず論より証拠と、実践編という形で組立術をいきなり紹介する。ここでは、高校生でも扱えるよう複素指数を抜きに話を進めていく。ただし、参考に高校で習う実数版の指数の法則は使う。

その後、理論編で組立に使う「正弦陰性則」、「正弦奇偶則」という猫式特有の法則を説明する。ここから猫式の三角関数の世界が広がってゆく。

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