半角公式

半角公式は、$$ \ffd{\theta}{2} $$の三角関数を$$ \theta $$の三角関数に変換する公式。未定記号で書くと、$$ e^{\theta/2} $$$$ = $$$$ \rt{e^\theta} $$と同形の$$ \ctri \ffd{\theta}{2} $$$$ = $$$$ \rt{\ctri \theta} $$になるが、正弦陰性則を適応するために両辺を二乗した式を用いる。

$$ \ctri^2 \ffd{\theta}{2} $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri \theta $$

左辺に2乗が掛かっているため、正弦陰性則により右辺は$$ \ccos $$しか選べない:

$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin^2 \ffd{\theta}{2} $$$$ \Rightarrow $$$$ \ccos \theta $$
$$ \phantom-\! $$$$ \ccos^2 \ffd{\theta}{2} $$$$ \Rightarrow $$$$ \ccos \theta $$

左辺に符号を反転させる要因が無いため符号合わせは必要無し。

続けて値域合わせに入るが、結果は次の通り:

これより、次の2式を得る:

$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin^2 \ffd{\theta}{2} $$$$ = $$$$ \ffd{\ccos \theta \iro[md]{\,-\,1}}{\iro[md]{2}} $$
$$ \phantom-\! $$$$ \ccos^2 \ffd{\theta}{2} $$$$ = $$$$ \ffd{\ccos \theta \iro[md]{\,+\,1}}{\iro[md]{2}} $$

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Last-modified: 2012.0229 (水) 1507.5700 (1850d)