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加法定理

加法定理は、加減算の三角関数を分解する公式。便宜上、三角関数が $\csin$ か $\ccos$ のどちらかで未定であることを $\ctri$ と表記すると*1、加法定理は次のように書ける：

$\spc{\ctri}{\exp}(\alpha \pm \beta)$ $\Rightarrow$ $\spc{\ctri}{\!\exp}\alpha \, \spc{\ctri}{\exp}\beta$

重要なのは $\sin$ と $\cos$ は加算を乗算に変える能力を持っていること*2。そして、これが次の指数の法則と同じ形であること。

$\exp(\alpha + \beta) = \exp\alpha \, \exp\beta$

$e^{\alpha + \beta} = e^\alpha \, e^\beta$

等号ではないのは、符号や係数などが欠けているため。式の左辺がそれぞれ $\csin(\alpha + \beta)$ 、 $\csin(\alpha - \beta)$ 、 $\ccos(\alpha + \beta)$ 、 $\ccos(\alpha - \beta)$ の場合について、等号が成立するように右辺を決めて行くのが組立の仕事。

*1 語源は三角を意味する英語 triangle の先頭で「三」を意味する三文字の語根 tri から。
*2 公式なんかより関数の性質を覚える方が遥かに重要

1. 正弦合わせ

組立は $\ctri$ の決定から始める。三角関数は三角公式の骨組みのようなもので、これが決まらないと何も決まらない。

猫式では、個々の項に対し、乗算している $\csin$ の数をその項の正弦数と定義する。加法定理の右辺にある $\ctri \alpha \, \ctri \beta$ には未定表記が2つあるため、組み合せは2×2＝4通り。それぞれの正弦数は次のようになる：

$\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ ── ０個 ── 偶数
$\csin \alpha$ $\ccos \beta$ ── １個 ── 奇数
$\ccos \alpha$ $\csin \beta$ ── １個 ── 奇数
$\csin \alpha$ $\csin \beta$ ── ２個 ── 偶数

そして、正弦数に関して組立術の真髄である次の規則が成り立つ：

正弦陰性則： $\csin$ が２つ掛け合わせる毎に、項の前に「 $\iro[ak]-$ 」が１つ増える

正弦奇偶則：正弦数は、等式の各項を通して「全て奇数」または「全て偶数」

これらを適応すると、右辺はそれぞれ２組ずつ絞られる：

$\csin(\alpha + \beta)$ ── 奇数 ── $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ 、 $\phantom-\!$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\csin(\alpha - \beta)$ ── 奇数 ── $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ 、 $\phantom-\!$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\ccos(\alpha + \beta)$ ── 偶数 ── $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ 、 $\iro[ak]-\!$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$
$\ccos(\alpha - \beta)$ ── 偶数 ── $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ 、 $\iro[ak]-\!$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$

等式にするため、２つの候補から１つの値を作ることになるが、ここは加法定理ということで単純に加えば良い*3。ここまでの作業で次の形になる：

$\csin(\alpha + \beta)$ $\Rightarrow$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $$ + $$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\csin(\alpha - \beta)$ $\Rightarrow$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $$ + $$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\ccos(\alpha + \beta)$ $\Rightarrow$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\iro[ak]-$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$
$\ccos(\alpha - \beta)$ $\Rightarrow$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\iro[ak]-$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$

*3 和積公式でも同じ状況になるが、和積は右辺が積なので、加えない。

2. 符号合わせ

続けて、式に残る符号を決める。一般に、数式は上手くできるもので、「 $$ + $$ 」が基本で、何かの理由があって初めて「 $\iro[ak]-$ 」が現れる。というわけで、左辺が加算の２式は「 $$ + $$ 」が「 $\iro[ak]-$ 」に化ける理由が無いから、もう出来上がっている。

$\csin(\alpha + \beta)$ $\Rightarrow$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $$ + $$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\ccos(\alpha + \beta)$ $\Rightarrow$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $$ - $$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$

残りの２式は、左辺の $\beta$ が符号反転したがために、右辺でも符号反転する。しかし、次のように書いた場合、反転する符号は選ぶ余地が無いよう見えるが、

$\csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta)$ $\Rightarrow$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[ak]-$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta)$ $\Rightarrow$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[ak]+$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$

２つの候補を逆に書いた場合、通常省略される $\clr[ao]+$ が現われ、反転することになる $\clr[mr]+$ が省略されるので困る。

$\csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta)$ $\Rightarrow$ $\clr[ak]-$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$ $\clr[ao]+$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$
$\ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta)$ $\Rightarrow$ $\clr[mr]+$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$ $\clr[ao]+$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$

このため、目に見える符号の反転ではなく、「項の符号反転」として全ての項について考える必要がある。

結果的に、右辺の $\beta$ を $-\beta$ に置き換えて計算することになるが、 $\ccos$ は $\ccos(\iro[ak]- \beta)$ $\Rightarrow$ $\ccos(\beta)$ と「 $\iro[ak]-$ 」を消すのに対し、 $\csin$ は $\csin(\iro[ak]- \beta)$ $\Rightarrow$ $\iro[ak]- \csin(\beta)$ と「 $\iro[ak]-$ 」を通す性質*4を使えば良い。

また、色で直感的に覚えても良い。正弦陰性則でも、「 $\iro[ak]-$ 」を伝搬する性質でも、 $\csin(\beta)$ は「 $\iro[ak]-$ 」と相性が良い。 $\csin$ と「 $\iro[ak]-$ 」を赤で統一しているのもこのためである。

以上の結果、加法定理の４式は次のようになる。

$\csin(\alpha + \beta)$ $$ = $$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[ao]+$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\csin(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta)$ $$ = $$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[ak]-$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$
$\ccos(\alpha + \beta)$ $$ = $$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[ak]-$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$
$\ccos(\alpha \mathbin{\clr[ak]-} \beta)$ $$ = $$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\clr[mr]+$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$

*4 専門用語では、 $\ccos$ は偶関数、 $\csin$ は奇関数。

3. 値域合わせ

本来なら、最後は値域をチェックする段取りだが、この場合、右辺の値域は簡単には分らない*5。幸いなことに、数式は上手くできるもので、簡単に分らないからチェックしなくても良い。既に上手くできているから。

*5 「簡単」というのは、加算（or減算）と乗算を１回ずつで出せることを意味し、専門用語では線形変換という。非線形になる途端に解けなくなる場合は結構あるので、こういうセンスも重要である。

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