倍角公式

混合型

倍角公式は、$$ 2 \theta $$の三角関数を$$ \theta $$の三角関数に変換する公式。$$ 2 \theta $$$$ = $$$$ \theta $$$$ + $$$$ \theta $$と見なせるため、加法定理として次の2式を組み立てられる。

$$ \csin 2 \theta $$$$ = $$$$ \csin(\theta + \theta) $$ $$ \Rightarrow $$ $$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$$$ + $$$$ \ccos \theta $$$$ \csin \theta $$ $$ \Rightarrow $$ $$ 2 $$$$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$

$$ \ccos 2 \theta $$$$ = $$$$ \ccos(\theta + \theta) $$ $$ \Rightarrow $$ $$ \ccos \theta $$$$ \ccos \theta $$$$ - $$$$ \csin \theta $$$$ \csin \theta $$ $$ \Rightarrow $$ $$ \ccos^2 \theta $$$$ - $$$$ \csin^2 \theta $$

コツとして、途中まで加法定理の名残で2つの$$ \theta $$$$ \alpha $$$$ \beta $$のままに別々扱うと良い。さもなければ、$$ \csin $$の方では係数の$$ 2 $$を得るのに$$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$の値域を覚える必要がある。

余弦型

一方、$$ e^{2 \theta} $$$$ = $$$$ e^\theta $$$$ e^\theta $$$$ = $$$$ (e^\theta)^2 $$と同形の倍角公式もある。

$$ \ctri 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri^2 \theta $$

ただし、$$ \ctri^2 \theta $$は正弦数が必ず偶数になるため、正弦数が奇数の$$ \csin 2 \theta $$はこの形の公式は無い*1。公式があるのは$$ \ccos 2 \theta $$の方のみで、次の2通りがある*2

$$ \ccos 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \phantom-\! $$$$ \ccos^2 \theta $$ (正弦数=0)

$$ \ccos 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin^2 \theta $$ (正弦数=2、陰性)

この時点、左辺に符号反転する要因が無いため、符号合わせは必要としない。しかし、値域は、左辺が$$ -1 $$$$ \le $$$$ \ccos 2 \theta $$$$ \le $$$$ 1 $$で、右辺が$$ 0 $$$$ \le $$$$ \ccos^2 \theta $$$$ \le $$$$ 1 $$$$ -1 $$$$ \le $$$$ \csin^2 \theta $$$$ \le $$$$ 0 $$と異なるため、合わせる必要がある。

*1 一応、$$ \ctri 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri \theta $$$$ \ctri \theta $$とすれば、混合型の$$ 2 $$$$ \csin \theta $$$$ \ccos \theta $$が該当すると見なすこともできる。
*2 一応、混合型の$$ \ccos^2 \theta $$$$ - $$$$ \csin^2 \theta $$は加法定理と同様に候補の$$ \ccos^2 \theta $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin^2 \theta $$を足したものとも見なせる。そうなれば、3通りになる。

値域合わせ

値域を簡潔に記述するため、$$ -1 $$$$ \le $$$$ \ccos 2 \theta $$$$ \le $$$$ 1 $$のような閉区間を$$ -1::1 $$と表記する*3。幸い公式は単純に出来ているもので、値域合わせは乗算1回と加算(or減算)1回の線形変換で済む。

$$ \ccos 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ccos^2 \theta $$の場合、左辺は$$ -1::1 $$、右辺は$$ 0::1 $$であるため、$$ \times $$$$ 2 $$$$ - $$$$ 1 $$をすれば良い:

$$ \ccos 2 \theta $$$$ \Rightarrow $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin^2 \theta $$の場合、左辺は$$ -1::1 $$、右辺は$$ -1::0 $$であるため、$$ \times $$$$ 2 $$$$ + $$$$ 1 $$をすれば良い:

以上より、次の2式を得る:

$$ \ccos 2 \theta $$$$ = $$$$ \phantom-\! $$$$ \iro[md]2 $$$$ \ccos^2 \theta $$$$ \iro[md]- $$$$ \iro[md]1 $$
$$ \ccos 2 \theta $$$$ = $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \iro[md]2 $$$$ \csin^2 \theta $$$$ \iro[md]+ $$$$ \iro[md]1 $$

*3 一般的に、閉空間は$$ [-1, 1] $$のように表記するが、括弧は他の意味にも使われるため、猫式では独自の二項演算子を用いる。
*4 $$ (0::1) $$$$ \times $$$$ 2 $$$$ - $$$$ 1 $$$$ = $$$$ (0::2) $$$$ - $$$$ 1 $$$$ = $$$$ (-1::1) $$
*5 $$ (-1::0) \times 2 + 1 $$$$ = $$$$ (-2::0) + 1 $$$$ = $$$$ (-1::1) $$

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Last-modified: 2012.0229 (水) 1507.5600 (1850d)