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倍角公式

混合型

倍角公式は、 $2 \theta$ の三角関数を $\theta$ の三角関数に変換する公式。 $2 \theta$ $$ = $$ $\theta$ $$ + $$ $\theta$ と見なせるため、加法定理として次の2式を組み立てられる。

$\csin 2 \theta$ $$ = $$ $\csin(\theta + \theta)$ 　 $\Rightarrow$ 　 $\csin \theta$ $\ccos \theta$ $$ + $$ $\ccos \theta$ $\csin \theta$ 　 $\Rightarrow$ 　 $$ 2 $$ $\csin \theta$ $\ccos \theta$

$\ccos 2 \theta$ $$ = $$ $\ccos(\theta + \theta)$ 　 $\Rightarrow$ 　 $\ccos \theta$ $\ccos \theta$ $$ - $$ $\csin \theta$ $\csin \theta$ 　 $\Rightarrow$ 　 $\ccos^2 \theta$ $$ - $$ $\csin^2 \theta$

コツとして、途中まで加法定理の名残で２つの $\theta$ を $\alpha$ と $\beta$ のままに別々扱うと良い。さもなければ、 $\csin$ の方では係数の $$ 2 $$ を得るのに $\csin \theta$ $\ccos \theta$ の値域を覚える必要がある。

余弦型

一方、 $e^{2 \theta}$ $$ = $$ $e^\theta$ $e^\theta$ $$ = $$ $(e^\theta)^2$ と同形の倍角公式もある。

$\ctri 2 \theta$ $\Rightarrow$ $\ctri^2 \theta$

ただし、 $\ctri^2 \theta$ は正弦数が必ず偶数になるため、正弦数が奇数の $\csin 2 \theta$ はこの形の公式は無い*1。公式があるのは $\ccos 2 \theta$ の方のみで、次の２通りがある*2。

$\ccos 2 \theta$ $\Rightarrow$ $\phantom-\!$ $\ccos^2 \theta$ 　（正弦数＝０）

$\ccos 2 \theta$ $\Rightarrow$ $\iro[ak]-\!$ $\csin^2 \theta$ 　（正弦数＝２、陰性）

この時点、左辺に符号反転する要因が無いため、符号合わせは必要としない。しかし、値域は、左辺が $$ -1 $$ $\le$ $\ccos 2 \theta$ $\le$ $$ 1 $$ で、右辺が $$ 0 $$ $\le$ $\ccos^2 \theta$ $\le$ $$ 1 $$ や $\le$ $\csin^2 \theta$ $\le$ $$ 0 $$ と異なるため、合わせる必要がある。

*1 一応、 $\ctri 2 \theta$ $\Rightarrow$ $\ctri \theta$ $\ctri \theta$ とすれば、混合型の $$ 2 $$

$\csin \theta$ $\ccos \theta$ が該当すると見なすこともできる。
*2 一応、混合型の $\ccos^2 \theta$ $$ - $$ $\csin^2 \theta$ は加法定理と同様に候補の $\ccos^2 \theta$ と $\iro[ak]-\!$ $\csin^2 \theta$ を足したものとも見なせる。そうなれば、３通りになる。

値域合わせ

値域を簡潔に記述するため、 $$ -1 $$ $\le$ $\ccos 2 \theta$ $\le$ $$ 1 $$ のような閉区間を $$ -1::1 $$ と表記する*3。幸い公式は単純に出来ているもので、値域合わせは乗算１回と加算（or減算）１回の線形変換で済む。

$\ccos 2 \theta$ $\Rightarrow$ $\ccos^2 \theta$ の場合、左辺は $$ -1::1 $$ 、右辺は $$ 0::1 $$ であるため、 $\times$ $$ 2 $$ 、 $$ - $$ $$ 1 $$ をすれば良い：

$$ (-1::1) $$ $$ = $$ $$ (0::1) $$ $\iro[md]{{}\times 2 - 1}$ *4

$\ccos 2 \theta$ $\Rightarrow$ $\iro[ak]-\!$ $\csin^2 \theta$ の場合、左辺は $$ -1::1 $$ 、右辺は $$ -1::0 $$ であるため、 $\times$ $$ 2 $$ 、 $$ + $$ $$ 1 $$ をすれば良い：

$$ (-1::1) $$ $$ = $$ $$ (-1::0) $$ $\iro[md]{{}\times 2 + 1}$ *5

以上より、次の２式を得る：

$\ccos 2 \theta$ $$ = $$ $\phantom-\!$ $\iro[md]2$ $\ccos^2 \theta$ $\iro[md]-$ $\iro[md]1$
$\ccos 2 \theta$ $$ = $$ $\iro[ak]-\!$ $\iro[md]2$ $\csin^2 \theta$ $\iro[md]+$ $\iro[md]1$