和積公式

和積公式は、三角関数の和を三角関数の積に変換する公式。未定記号を使うと、

$$ \ctri \alpha $$$$ \cpm $$$$ \ctri \beta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri A $$$$ \ctri B $$

今度は、$$ A $$と$$ B $$がそれぞれ$$ \ffd{\alpha + \beta}{2} $$と$$ \ffd{\alpha - \beta}{2} $$で、

$$ \ctri \alpha $$$$ \cpm $$$$ \ctri \beta $$$$ \Rightarrow $$$$ \ctri \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ctri \ffd{\alpha - \beta}{2} $$

積和と和積で引数が紛らわしいが、積和は右辺が和なので和の形をした$$ (\alpha \pm \beta) $$を取る、和積は右辺が積のため積の形をした$$ \ffd{\alpha \pm \beta}{2} $$を取るとでも覚えば良い。

1. 正弦合わせ

式の左辺には未定記号が３つあるため、組合せは$$ 2^3 $$$$ = $$$$ 8 $$通り。しかし、これまでと異なり、正弦奇遇則に違反するために不可となる組み合わせが現れる。正弦奇偶則と正弦陰性則を適応すると、次のようになる：

$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \csin \beta $$ ── 奇、奇 → 奇数 ── $$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \beta $$ ── 奇、奇 → 奇数 ── $$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \ccos \beta $$ ── 奇、偶 → 不可
$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \beta $$ ── 奇、偶 → 不可
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \csin \beta $$ ── 偶、奇 → 不可
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \beta $$ ── 偶、奇 → 不可
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \ccos \beta $$ ── 偶、偶 → 偶数 ── $$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \beta $$ ── 偶、偶 → 偶数 ── $$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$ or $$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$

ここも加法定理と紛らわしく右辺の候補に対して２択１を取るのだが、和積は右辺が積のため既に積の形をした候補から２択１すれば良い。

2. 符号合わせ

続けて、左辺の符号に応じて、右辺を決める。今度は$$ \alpha $$と$$ \beta $$を交換して、式の値を調べる。左辺は「$$ + $$」なら変化無し、「$$ - $$」なら変化有り。右辺は$$ \alpha - \beta $$が符号反転するため、$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$を持つ方が変化無し、持たない方が変化有り。

$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \csin \beta $$ ── 変化無し ── $$ \phantom-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \beta $$ ── 変化有り ── $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \ccos \beta $$ ── 変化無し ── $$ \phantom-\! $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \beta $$ ── 変化有り ── $$ \iro[ak]-\! $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{2} $$

3. 値域合わせ

今、左辺は三角関数の和のため値域は$$ (-1::1) $$$$ + $$$$ (-1::1) $$$$ = $$$$ (-2::2) $$、右辺は三角関数の積のため値域は$$ (-1::1) $$$$ \times $$$$ (-1::1) $$$$ = $$$$ (-1::1) $$。このため、値域を合わせるには、右辺を$$ 2 $$倍すれば良い。

以上より、和積公式の４式は次のようになる。

$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \csin \beta $$$$ = $$$$ \phantom-\! $$$$ \clr[md]2 $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
$$ \csin \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \csin \beta $$$$ = $$$$ \phantom-\! $$$$ \clr[md]2 $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ao]+ $$$$ \ccos \beta $$$$ = $$$$ \phantom-\! $$$$ \clr[md]2 $$$$ \ccos \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $$$$ \ccos \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$
$$ \ccos \alpha $$$$ \clr[ak]- $$$$ \ccos \beta $$$$ = $$$$ \iro[ak]-\! $$$$ \clr[md]2 $$$$ \csin \ffd{\alpha + \beta}{\clr[md]2} $$$$ \csin \ffd{\alpha - \beta}{\clr[md]2} $$

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Last-modified: 2012.0229 (水) 1507.5800 (1996d)