定数係数2階線形常微分方程式 のバックアップ(No.1) |
凌宮読取術: ⇒定数係数の2階線形常微分方程式は運動力学や電磁気学で支配方程式として現れるため、 問題は、この方法は謂わば「解のパターンが分かる前提で答えを組み立てる」手法であり、 これに対し、凌宮数学では、簡単な式変形をし、直前に学ぶ1階線形常微分方程式に還元して解く。
線形常微分演算の因数分解最初の読み替えから演算子部を取り出すと、因数分解した形の式が現れる:
読み替えが可能な理由は常微分の線形性によるが、右側の展開で簡単に確認できる。
ここで、重要なのはかつという関係であり、 連立1階線形常微分方程式因数分解形から連立一階形への変形は、をと置いただけである。
実際、連立も名ばかりのもので、上の式にが無いため、先にから解けば良い。 解の公式1階線形常微分の解より、連立した2式の解はそれぞれ次のようになる:
下式を上式に代入してを消せば、解の公式が得られる: この公式を解けば、2つの不定積分で計2つの積分定数が現われて2つの一般解を作る。残りの本体が特殊解となる。 以下に、積和形の公式と定番手法の場合分けの対応例を示す。 【執筆中】 |