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/回転公式
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* 予備知識 [#m018dcc6]
- [[ベクトル微分演算子]]
- [[ベクトル三重積公式]]
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** 回転と元ベクトルの外積 [#ycfe8cfc]
* 回転公式 [#o5d2529e]
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** 回転と元ベクトルの外積 [#eea6bdcf]
$$
\:F \vx (\:\nabla \vx \:F)
= \ffd12 \:\nabla |\:F|^2 - (\:F \sx \:\nabla) \:F
= \ffd12 \:\nabla(\:F^2) - (\:F \sx \:\nabla) \:F
$$
左辺$$ = $ \:A \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:A \Big) $$
#ceq(e)
$$ = $ \Big(\:A \sx d\:A \Big) \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq
ベクトル三重積:$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$
((ベクトル三重積公式の覚え方はこちら:[[ベクトル三重積公式]]))
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{d\:A \sx \:A + \:A \sx d\:A}{2} \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq
積の微分$$ d(\:F \sx \:G) = d\:F \sx \:G + \:F \sx d\:G $$のための式変形
(($$ dF^2 = 2FdF $$のベクトル版$$ d\:F^2 \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F $$のための式変形と解釈しても良い))
(($$ d(F^2) = 2FdF $$のベクトル版$$ d(\:F^2) \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F $$のための式変形と解釈しても良い))
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{d(\:A \sx \:A)}{2} \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{2} \ffd{d|\:A|^2}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
$$ = $ \ffd{1}{2} \ffd{d(\:A^2)}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq(e)
$$ = $$右辺
#ceq(end)
%bodynote
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** 外積の回転 [#a186c1a1]
** 外積の回転 [#hcbc2d2b]
$$
\:\nabla \vx (\:F \vx \:G)
= (\:G \sx \:\nabla) \:F
- (\:F \sx \:\nabla) \:G
+ (\:\nabla \sx \:G) \:F
- (\:\nabla \sx \:F) \:G
$$
左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} \vx d(\:F \vx \:G) $$
左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d(\:F \vx \:G) $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} \vx (d\:F \vx \:G) + \ffd{1}{d\:r} \vx (\:F \vx d\:G) $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ (d\:F \vx \:G) $ + $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ (\:F \vx d\:G) $$
#ceq
積の微分:$$ d(\:F \vx \:G) = d\:F \vx \:G + \:F \vx d\:G $$
積の微分:$$ d(\:F \vx \:G) $ = $ d\:F \vx \:G $ + $ \:F \vx d\:G $$
#ceq(e)
$$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \:G \Big) d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G $$
$$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \:F \Big) d\:G $$
$$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \:G \Big) $ d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
$$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \:F \Big) $ d\:G $$
#ceq
ベクトル三重積:$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$
ベクトル三重積:$$ \:A $ \vx $ (\:B $ \vx $ \:C) $ = $ (\:A $ \sx $ \:C) $ \:B $ - $ (\:A $ \sx $ \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
$$ = $ \Big(\:G \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G $$
$$ - $ \Big(\:F \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:G $ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F $$
$$ = $ \Big(\:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
$$ - $ \Big(\:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:G $ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $$
#ceq
内積の交換則:$$ \:A \sx \:B = \:B \sx \:A $$
内積の交換則:$$ \:A $ \sx $ \:B $ = $ \:B $ \sx $ \:A $$
#ceq(e)
$$ = $ \Big(\:G \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:F $$
$$ - $ \Big(\:F \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:G $$
$$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F $$
$$ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G $$
$$ = $ \Big(\:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:F $$
$$ - $ \Big(\:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:G $$
$$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $$
$$ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
#ceq(e)
$$ = $$右辺
#ceq(end)
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 回転の回転 [#a186c1a1]
** 回転の回転 [#u9fd4fe3]
$$
\:\nabla \vx (\:\nabla \vx \:F)
= \:\nabla (\:\nabla \sx \:F)
- \:\nabla \sx \:\nabla \:F
= \:\nabla (\:\nabla \sx \:F)
- \triangle \:F
\:\nabla $ \vx $ (\:\nabla \vx \:F)
= \:\nabla $ (\:\nabla \sx \:F) $ - $ (\:\nabla \sx \:\nabla) $ \:F
= \:\nabla $ (\:\nabla \sx \:F) $ - $ \triangle $ \:F
$$
左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} \vx d \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:F \Big) $$
左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:F \Big) $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d^2\:F \Big) $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d^2\:F \Big) $$
#ceq
$$ \ffd{1}{d\:r} \vx $$は$$ d $$と交換可能。
($$ d\:r $$が$$ \:r $$に依存しない限り)$$ \ffd{1}{d\:r} \vx $$と$$ d $$は交換可能。
#ceq(e)
$$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d^2\:F \Big) \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d^2\:F $$
$$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d^2\:F $$
#ceq
ベクトル三重積:$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$
ベクトル三重積:$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d^2\:F \Big) $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d^2\:F $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d^2\:F $$
#ceq
倍積の交換則:$$ A \:B = \:B A $$
倍積の交換則:$$ A \:B $ = $ \:B A $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} \Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d^2\:F \Big) $ - $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ - $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
#ceq
ラプラス演算子の猫式表記分数形:$$ \:\triangle \:F \Leftrightarrow \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
ラプラス演算子の凌宮表記の分数形:$$ \:\triangle \:F $ \Leftrightarrow $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
#ceq(e)
$$ = $$右辺
#ceq(end)
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 内積の勾配 [#y9bc4410]
$$
\:\nabla (\:F \sx \:G)
= (\:G \sx \:\nabla)\:F
+ (\:F \sx \:\nabla)\:G
+ \:F \vx (\:\nabla \vx \:G)
+ \:G \vx (\:\nabla \vx \:F)
$$
左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ d( $ \:F $ \sx $ \:G $ ) $$
#ceq(e)
$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big( $ d\:F $ \sx $ \:G $ + $ \:F $ \sx $ d\:G $ \Big) $$
#ceq(a)
積の微分
#ceq(e)
#ceq(e)
$$ = $ \Big( $ \:F $ \sx $ d\:G $ \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $$
&br;$$ + $ \Big( $ \:G $ \sx $ d\:F $ \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $$
#ceq(a)
;,通常表記に戻すため、三重積の因子を入換える必要がある。
;,内積とスカラ倍の三重積であるため、ベクトル三重積の公式を使用:
;,$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
(右辺第1項に合わせて式変形)
#ceq(e)
#ceq(e)
$$ = $ \:F $ \vx $ \Big( $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:G $ \Big) $ + $ \Big( $ \:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big) $ d\:G $$
&br;$$ + $ \:G $ \vx $ \Big( $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:F $ \Big) $ + $ \Big( $ \:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big) $ d\:F $$
#ceq(a)
;,ベクトル三重積公式の右辺第1項を左辺について解いて利用:
;,$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $ = $ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ + $ (\:A \sx \:B) $$
((括弧の外に出す因子を決める際、外積の$$ \ffd{1}{d\:r} $$と$$ d $$を優先的に結合させることがコツ。内積の方は離れても通常表記で対処できる。))
((逆に内積を優先的に結合させても、$$ ( $ \:G $ \vx $ \:\nabla $ ) $ \vx $ \:F $$の項を含んだ別の公式になるだけで、式変形自体は可能である。))
#ceq(e)
#ceq(e)
$$ = $ \:F $ \vx $ ( $ \:\nabla $ \vx $ \:G $ ) $ + $ ( $ \:F $ \sx $ \:\nabla $ ) $ \:G $$
&br;$$ + $ \:G $ \vx $ ( $ \:\nabla $ \vx $ \:F $ ) $ + $ ( $ \:G $ \sx $ \:\nabla $ ) $ \:F $$
#ceq(a)
通常表記では、$$ (\:A \sx \:\nabla) \:B $$で$$ \Big(\:A \sx \ddd{}{\:r}\Big) \:B $$を表す。
#ceq(e)
#ceq(e)
$$ = $$右辺
#ceq(end)
%bodynote
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