回転公式 < ベクトル微分演算子

予備知識

回転公式

回転と元ベクトルの外積

$\:F \vx (\:\nabla \vx \:F) = \ffd12 \:\nabla(\:F^2) - (\:F \sx \:\nabla) \:F$

左辺 $$ = $$ $\:A \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:A \Big)$

$\Big(\:A \sx d\:A \Big) \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$	ベクトル三重積： $\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$
$\ffd{d\:A \sx \:A + \:A \sx d\:A}{2} \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$	積の微分 $d(\:F \sx \:G) = d\:F \sx \:G + \:F \sx d\:G$ のための式変形*1
$\ffd{d(\:A \sx \:A)}{2} \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$
$\ffd{1}{2} \ffd{d(\:A^2)}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$
右辺

のベクトル版 $d(\:F^2) \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F$ のための式変形と解釈しても良い

外積の回転

$\:\nabla \vx (\:F \vx \:G) = (\:G \sx \:\nabla) \:F - (\:F \sx \:\nabla) \:G + (\:\nabla \sx \:G) \:F - (\:\nabla \sx \:F) \:G$

左辺 $$ = $$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d(\:F \vx \:G)$

$\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $(d\:F \vx \:G)$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $(\:F \vx d\:G)$	積の微分： $d(\:F \vx \:G)$ $d\:F \vx \:G$ $\:F \vx d\:G$
$\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $\:G \Big)$ $d\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:F \Big)$ $\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:G \Big)$ $\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $\:F \Big)$ $d\:G$	ベクトル三重積： $\:A$ $\vx$ $(\:B$ $\vx$ $\:C)$ $(\:A$ $\sx$ $\:C)$ $\:B$ $(\:A$ $\sx$ $\:B)$ $\:C$
$\Big(\:G$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:F \Big)$ $\:G$ $\Big(\:F$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:G \Big)$ $\:F$	内積の交換則： $\:A$ $\sx$ $\:B$ $\:B$ $\sx$ $\:A$
$\Big(\:G$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d\:F$ $\Big(\:F$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:G \Big)$ $\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d\:F \Big)$ $\:G$
右辺

回転の回転

$\:\nabla$ $\vx$ $(\:\nabla \vx \:F) = \:\nabla$ $(\:\nabla \sx \:F)$ $$ - $$ $(\:\nabla \sx \:\nabla)$ $\:F = \:\nabla$ $(\:\nabla \sx \:F)$ $$ - $$ $\triangle$ $\:F$

左辺 $$ = $$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d \Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d\:F \Big)$

$\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d^2\:F \Big)$	（ $d\:r$ が $\:r$ に依存しない限り） $\ffd{1}{d\:r} \vx$ とは交換可能。
$\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d^2\:F \Big)$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d^2\:F$	ベクトル三重積： $\:A$ $\vx$ $(\:B \vx \:C)$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$
$\ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d^2\:F \Big)$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r} \Big)$ $d^2\:F$	倍積の交換則： $A \:B$ $\:B A$
$\ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\ffd{1}{d\:r}$ $\sx$ $d^2\:F \Big)$ $\ddd{^2\:F}{\:r^2}$	ラプラス演算子の凌宮表記の分数形： $\:\triangle \:F$ $\Leftrightarrow$ $\ddd{^2\:F}{\:r^2}$
右辺

内積の勾配

$\:\nabla (\:F \sx \:G) = (\:G \sx \:\nabla)\:F + (\:F \sx \:\nabla)\:G + \:F \vx (\:\nabla \vx \:G) + \:G \vx (\:\nabla \vx \:F)$

左辺 $$ = $$ $\ffd{1}{d\:r}$ $$ d( $$ $\:F$ $\sx$ $\:G$ $$ ) $$

$\ffd{1}{d\:r}$ $\Big($ $d\:F$ $\sx$ $\:G$ $\:F$ $\sx$ $d\:G$ $\Big)$	積の微分

$\Big($ $\:F$ $\sx$ $d\:G$ $\Big)$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big($ $\:G$ $\sx$ $d\:F$ $\Big)$ $\ffd{1}{d\:r}$	通常表記に戻すため、三重積の因子を入換える必要がある。内積とスカラ倍の三重積であるため、ベクトル三重積の公式を使用： $\:A$ $\vx$ $(\:B \vx \:C)$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$ （右辺第１項に合わせて式変形）

$\:F$ $\vx$ $\Big($ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d\:G$ $\Big)$ $\Big($ $\:F$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big)$ $d\:G$ $\:G$ $\vx$ $\Big($ $\ffd{1}{d\:r}$ $\vx$ $d\:F$ $\Big)$ $\Big($ $\:G$ $\sx$ $\ffd{1}{d\:r}$ $\Big)$ $d\:F$	ベクトル三重積公式の右辺第１項を左辺について解いて利用： $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $\:A$ $\vx$ $(\:B \vx \:C)$ $(\:A \sx \:B)$ 2 3

$\:F$ $\vx$ $\:\nabla$ $\vx$ $\:G$ $\:F$ $\sx$ $\:\nabla$ $\:G$ $\:G$ $\vx$ $\:\nabla$ $\vx$ $\:F$ $\:G$ $\sx$ $\:\nabla$ $\:F$	通常表記では、 $(\:A \sx \:\nabla) \:B$ で $\Big(\:A \sx \ddd{}{\:r}\Big) \:B$ を表す。

右辺