予備知識 EditToHeaderToFooter

回転公式 EditToHeaderToFooter

回転と元ベクトルの外積 EditToHeaderToFooter

$$ \:F \vx (\:\nabla \vx \:F) = \ffd12 \:\nabla(\:F^2) - (\:F \sx \:\nabla) \:F $$

左辺$$ = $$$$ \:A \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:A \Big) $$

$$ = $$$$ \Big(\:A \sx d\:A \Big) \ffd{1}{d\:r} $$$$ - $$$$ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$

ベクトル三重積:$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$

$$ = $$$$ \ffd{d\:A \sx \:A + \:A \sx d\:A}{2} \ffd{1}{d\:r} $$$$ - $$$$ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$

積の微分$$ d(\:F \sx \:G) = d\:F \sx \:G + \:F \sx d\:G $$のための式変形*1

$$ = $$$$ \ffd{d(\:A \sx \:A)}{2} \ffd{1}{d\:r} $$$$ - $$$$ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$

$$ = $$$$ \ffd{1}{2} \ffd{d(\:A^2)}{d\:r} $$$$ - $$$$ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$

$$ = $$右辺

*1 $$ d(F^2) = 2FdF $$のベクトル版$$ d(\:F^2) \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F $$のための式変形と解釈しても良い

外積の回転 EditToHeaderToFooter

$$ \:\nabla \vx (\:F \vx \:G) = (\:G \sx \:\nabla) \:F - (\:F \sx \:\nabla) \:G + (\:\nabla \sx \:G) \:F - (\:\nabla \sx \:F) \:G $$

左辺$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ d(\:F \vx \:G) $$

$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ (d\:F \vx \:G) $$$$ + $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ (\:F \vx d\:G) $$

積の微分:$$ d(\:F \vx \:G) $$$$ = $$$$ d\:F \vx \:G $$$$ + $$$$ \:F \vx d\:G $$

$$ = $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ \:G \Big) $$$$ d\:F $$$$ - $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:F \Big) $$$$ \:G $$$$ + $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:G \Big) $$$$ \:F $$$$ - $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ \:F \Big) $$$$ d\:G $$

ベクトル三重積:$$ \:A $$$$ \vx $$$$ (\:B $$$$ \vx $$$$ \:C) $$$$ = $$$$ (\:A $$$$ \sx $$$$ \:C) $$$$ \:B $$$$ - $$$$ (\:A $$$$ \sx $$$$ \:B) $$$$ \:C $$

$$ = $$$$ \Big(\:G $$$$ \sx $$$$ \ffd{1}{d\:r} \Big) $$$$ d\:F $$$$ - $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:F \Big) $$$$ \:G $$$$ - $$$$ \Big(\:F $$$$ \sx $$$$ \ffd{1}{d\:r} \Big) $$$$ d\:G $$$$ + $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:G \Big) $$$$ \:F $$

内積の交換則:$$ \:A $$$$ \sx $$$$ \:B $$$$ = $$$$ \:B $$$$ \sx $$$$ \:A $$

$$ = $$$$ \Big(\:G $$$$ \sx $$$$ \ffd{1}{d\:r} \Big) $$$$ d\:F $$$$ - $$$$ \Big(\:F $$$$ \sx $$$$ \ffd{1}{d\:r} \Big) $$$$ d\:G $$$$ + $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:G \Big) $$$$ \:F $$$$ - $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:F \Big) $$$$ \:G $$

$$ = $$右辺

回転の回転 EditToHeaderToFooter

$$ \:\nabla $$$$ \vx $$$$ (\:\nabla \vx \:F) = \:\nabla $$$$ (\:\nabla \sx \:F) $$$$ - $$$$ (\:\nabla \sx \:\nabla) $$$$ \:F = \:\nabla $$$$ (\:\nabla \sx \:F) $$$$ - $$$$ \triangle $$$$ \:F $$

左辺$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ d \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ d\:F \Big) $$

$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ d^2\:F \Big) $$

$$ d\:r $$$$ \:r $$に依存しない限り)$$ \ffd{1}{d\:r} \vx $$$$ d $$は交換可能。

$$ = $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d^2\:F \Big) $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ - $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ \ffd{1}{d\:r} \Big) $$$$ d^2\:F $$

ベクトル三重積:$$ \:A $$$$ \vx $$$$ (\:B \vx \:C) $$$$ = $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \:B $$$$ - $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \:C $$

$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d^2\:F \Big) $$$$ - $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ \ffd{1}{d\:r} \Big) $$$$ d^2\:F $$

倍積の交換則:$$ A \:B $$$$ = $$$$ \:B A $$

$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \Big(\ffd{1}{d\:r} $$$$ \sx $$$$ d^2\:F \Big) $$$$ - $$$$ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$

ラプラス演算子の凌宮表記の分数形:$$ \:\triangle \:F $$$$ \Leftrightarrow $$$$ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$

$$ = $$右辺

内積の勾配 EditToHeaderToFooter

$$ \:\nabla (\:F \sx \:G) = (\:G \sx \:\nabla)\:F + (\:F \sx \:\nabla)\:G + \:F \vx (\:\nabla \vx \:G) + \:G \vx (\:\nabla \vx \:F) $$

左辺$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ d( $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ \:G $$$$ ) $$

$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \Big( $$$$ d\:F $$$$ \sx $$$$ \:G $$$$ + $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:G $$$$ \Big) $$

積の微分

$$ = $$$$ \Big( $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:G $$$$ \Big) $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$
$$ + $$$$ \Big( $$$$ \:G $$$$ \sx $$$$ d\:F $$$$ \Big) $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$

通常表記に戻すため、三重積の因子を入換える必要がある。
内積とスカラ倍の三重積であるため、ベクトル三重積の公式を使用:
$$ \:A $$$$ \vx $$$$ (\:B \vx \:C) $$$$ = $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \:B $$$$ - $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \:C $$(右辺第1項に合わせて式変形)

$$ = $$$$ \:F $$$$ \vx $$$$ \Big( $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ d\:G $$$$ \Big) $$$$ + $$$$ \Big( $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \Big) $$$$ d\:G $$
$$ + $$$$ \:G $$$$ \vx $$$$ \Big( $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \vx $$$$ d\:F $$$$ \Big) $$$$ + $$$$ \Big( $$$$ \:G $$$$ \sx $$$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ \Big) $$$$ d\:F $$

ベクトル三重積公式の右辺第1項を左辺について解いて利用:
$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \:B $$$$ = $$$$ \:A $$$$ \vx $$$$ (\:B \vx \:C) $$$$ + $$$$ (\:A \sx \:B) $$*2*3

$$ = $$$$ \:F $$$$ \vx $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ \vx $$$$ \:G $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ \:\nabla $$$$ ) $$$$ \:G $$
$$ + $$$$ \:G $$$$ \vx $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ \vx $$$$ \:F $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ \:G $$$$ \sx $$$$ \:\nabla $$$$ ) $$$$ \:F $$

通常表記では、$$ (\:A \sx \:\nabla) \:B $$$$ \Big(\:A \sx \ddd{}{\:r}\Big) \:B $$を表す。

$$ = $$右辺

*2 括弧の外に出す因子を決める際、外積の$$ \ffd{1}{d\:r} $$$$ d $$を優先的に結合させることがコツ。内積の方は離れても通常表記で対処できる。
*3 逆に内積を優先的に結合させても、$$ ( $$$$ \:G $$$$ \vx $$$$ \:\nabla $$$$ ) $$$$ \vx $$$$ \:F $$の項を含んだ別の公式になるだけで、式変形自体は可能である。
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Last-modified: 2015.0929 (火) 1325.2200 (688d)