ベクトル三重積公式

凌宮組立術：

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように書き出せる。

(1) 垂直の垂直で元の平面 ⇒ 平面上で成分分解

まず、左辺のについて、
外積の性質としてはとの両方に垂直のため、
はとを含む平面に垂直。

同様に、はに垂直。
その結果、は、とを含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
垂直の垂直で元の平面に戻る。

というわけで、はとと同一平面上にある。
よって、はとに成分分解できる*1。
これを穴埋めの形で書くと、こうなる：

ここで、にはスカラの係数が、には「」または「」の符号が入る。

*1 難しい言い方をすると、とを平面の基底として、同平面上にあるを成分分解できる。

(2) 次元解析 ＆ スカラ積＝内積

次は、が３つの文字の掛け算であるため、次元は掛け算の種類を問わず、の次元である*2。
よって、もも３文字の掛け算であるべき。

さらに、係数はスカラ値である必要があるため、は自ずとスカラ積すなわち内積になる*3。

*2 次元が良く分らない人は物理単位で考えば良い。例えば、が[m]、が[s]、が[g]とか。
*3 実際、２つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけではない。しかし、どれも内積よりはずっと複雑になる。幸い、ベクトル三重積は意外に簡単であるので、一番単純な内積で良い。

(3) 極端な例で符号判定

外積の交代性でであるため、右辺もとが交代したらマイナスになる。
でとが交代したらになるため、交代則を成立させるには、２つのには「＋」と「−」と逆の符号が入る。

この符号は外積の立体的な回転を２回も考える必要がある。
今は符号さえ分かれば良いので、問題を簡単にしてから調べれば良い。
外積で一番簡単に計算できるのは、単位基本ベクトル、、である。
これが向き、つまり符号、の定義と言っても過言でない。

というわけで、の前が「」、残るの前は「」となる。

他方、紛らわしいも全く同様に置換すれば良い。

というわけで、の前が「」、残るの前は「」となる。

まとめ・つなぎ

ベクトル三重積の公式やに関して、
以下の手順で公式を簡単に組み立てられる：

なお、各ステップの意味合い、および、符号決定の別手法は「ベクトル三重積公式の補足」にて補足する。
また、ベクトル三重積の応用例は乏しく、簡単に見つかるのは以下の３つである：

• ベクトル微分の回転が絡む回転公式。
  ただし、通常表記では表記の制約上、ベクトル三重積を適応した表記を表現できない。
• 角運動量と角速度の関係式*4。
  ただし、これはの場合で、となっている特殊例である。
• 空間ベクトルを方向の単位ベクトルに対して平行と垂直に成分分解する際の垂直ベクトル成分：
  　　
  ベクトル三重積公式がは、分解式を移項したに対応している：
  　　
  ただし、これもの場合で、となっている特殊例である。