凌宮組立術: $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ EditToHeaderToFooter

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように書き出せる。

(1) 垂直の垂直で元の平面 ⇒ 平面上で成分分解 EditToHeaderToFooter

left,aroundleft,around

まず、左辺の$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$について、
外積の性質として$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \iro[md]{\:C} $$の両方に垂直のため、
$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \iro[md]{\:C} $$を含む平面に垂直。

同様に、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$に垂直。
その結果、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は、$$ \:B $$$$ \:C $$を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
垂直垂直元の平面に戻る。

left,around

というわけで、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \iro[md]{\:C} $$と同一平面上にある。
よって、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \iro[md]{\:C} $$に成分分解できる*1
これを穴埋めの形で書くと、こうなる:

$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:C} $$

ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ + $$」または「$$ - $$」の符号が入る。

*1 難しい言い方をすると、$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \iro[md]{\:C} $$を平面の基底として、同平面上にある$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$を成分分解できる。

(2) 次元解析 & スカラ積=内積 EditToHeaderToFooter

次は、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$が3つの文字の掛け算であるため、次元は掛け算の種類を問わず、$$ \:A \:B \:C $$の次元である*2
よって、$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:C} $$も3文字の掛け算であるべき。

$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \spc{?}{\vx} \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \spc{?}{\vx} \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

さらに、係数はスカラ値である必要があるため、$$ ? $$は自ずとスカラ積すなわち内積になる*3

$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

*2 次元が良く分らない人は物理単位で考えば良い。例えば、$$ \:A $$が[m]、$$ \:B $$が[s]、$$ \:C $$が[g]とか。
*3 実際、2つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけではない。しかし、どれも内積よりはずっと複雑になる。幸い、ベクトル三重積は意外に簡単であるので、一番単純な内積で良い。

(3) 極端な例で符号判定 EditToHeaderToFooter

外積の交代性で$$ \:B \vx \:C $$$$ = $$$$ - \:C \vx \:B $$であるため、右辺も$$ \:B $$$$ \:C $$が交代したらマイナスになる。
$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \:B $$$$ \:B $$$$ \:C $$が交代したら$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \:C $$になるため、交代則を成立させるには、2つの$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「+」と「−」と逆の符号が入る。

この符号は外積の立体的な回転を2回も考える必要がある。
今は符号さえ分かれば良いので、問題を簡単にしてから調べれば良い。
外積で一番簡単に計算できるのは、単位基本ベクトル$$ \:i $$$$ \:j $$$$ \:k $$である。
これが向き、つまり符号、の定義と言っても過言でない。

$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$
$$ \:i \vx (\:i \vx \:j) $$$$ = $$$$ \:i $$$$ \vx $$$$ \:k $$$$ = $$$$ -\:j $$
$$ -\:C $$

$$ \:B $$$$ \:i $$
$$ \:C $$$$ \:j $$

というわけで、$$ \:C $$の前が「$$ - $$」、残る$$ \:B $$の前は「$$ + $$」となる。

$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$$$ = $$$$ + $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ - $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

他方、紛らわしい$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$も全く同様に置換すれば良い。

$$ (\:A \vx \:B) \vx \:C $$
$$ (\:i \vx \:j) \vx \:i $$$$ = $$$$ \:k $$$$ \vx $$$$ \:i $$$$ = $$$$ +\:j $$
$$ +\:B $$

$$ \:A $$$$ \:i $$
$$ \:B $$$$ \:j $$

というわけで、$$ \:B $$の前が「$$ + $$」、残る$$ \:A $$の前は「$$ - $$」となる。

$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$$$ = $$$$ - $$$$ (\:C \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:A} $$$$ + $$$$ (\:C \sx \:A) $$$$ \iro[md]{\:B} $$

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

ベクトル三重積の公式$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$に関して、
以下の手順で公式を簡単に組み立てられる:

$$ \iro[ao]{\:A} $$$$ \vx $$$$ (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$

$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) $$$$ \vx $$$$ \iro[ao]{\:C} $$

$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:C} $$

$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:A} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:B} $$

(1) 平面決定・成分分解

$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:B \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:A} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$

(2) 次元決定・演算決定

$$ = $$$$ + $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ - $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

$$ = $$$$ - $$$$ (\:B \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:A} $$$$ + $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$

(3) 符号決定

  ∵ $$ \iro[ao]{\:i} $$$$ \vx $$$$ (\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j}) $$$$ = $$$$ \:i $$$$ \vx $$$$ \:k $$$$ = $$$$ -\iro[md]{\:j} $$$$ - $$$$ \iro[md]{\:C} $$

  ∵ $$ (\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j}) $$$$ \vx $$$$ \iro[ao]{\:i} $$$$ = $$$$ \:k $$$$ \vx $$$$ \:i $$$$ = $$$$ +\iro[md]{\:j} $$$$ + $$$$ \iro[md]{\:B} $$

  簡単な特例で符号調べ

なお、各ステップの意味合い、および、符号決定の別手法は「ベクトル三重積公式の補足」にて補足する。
また、ベクトル三重積の応用例は乏しく、簡単に見つかるのは以下の3つである:

  • ベクトル微分の回転$$ \:\nabla \vx $$が絡む回転公式
    ただし、通常表記では表記の制約上、ベクトル三重積を適応した表記を表現できない。
  • 角運動量$$ \:L $$と角速度$$ \:\omega $$の関係式$$ \:L $$$$ = $$$$ m $$$$ \:r $$$$ \vx $$$$ (\:\omega \vx \:r) $$*4
    ただし、これは$$ \:A $$$$ \vx $$$$ (\:B \vx \:C) $$の場合で、$$ \:A $$$$ = $$$$ \:C $$$$ \iro[gy]{=} $$$$ \iro[gy]{\:r} $$となっている特殊例である。
  • 空間ベクトル$$ \:A $$$$ \:u $$方向の単位ベクトル$$ \:1_u $$に対して平行と垂直に成分分解する際の垂直ベクトル成分:
      $$ \:A $$$$ = $$$$ \:A_{\,\parallel\:1_u} $$$$ + $$$$ \:A_{\perp\:1_u} $$$$ , $$ $$ \bigg\{ \begin{array}{ll} \:A_{\,\parallel\:1_u} = (\:1_u \sx \:A)\; \:1_u & \!\!,\; \:A_{\,\parallel\:1_u} \,\parallel \:1_u \\ \:A_{\perp\:1_u} = (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u & \!\!,\; \:A_{\perp\:1_u} \perp \:1_u \end{array} $$
    ベクトル三重積公式がは、分解式を移項した$$ $$$$ \:A_{\perp\:1_u} $$$$ = $$$$ \:A $$$$ - $$$$ \:A_{\,\parallel\:1_u} $$に対応している:
      $$ (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u $$$$ = $$$$ \cancel{(\:1_u \sx \:1_u)} $$$$ \:A $$$$ - $$$$ (\:1_u \sx \:A) $$$$ \:1_u $$
    ただし、これも$$ \:A $$$$ \vx $$$$ (\:B \vx \:C) $$の場合で、$$ \:A $$$$ = $$$$ \:C $$$$ \iro[gy]{=} $$$$ \iro[gy]{\:1_u} $$となっている特殊例である。
file符号ix(ixj).png 43件 [詳細] file符号Ax(BxC).png 46件 [詳細] file符号判定(AxB)xC.png 92件 [詳細] file符号判定Ax(BxC).png 117件 [詳細] filePerpPerp.png 163件 [詳細] fileBxC.png 127件 [詳細] fileAxBxC+-.png 81件 [詳細] fileAx(BxC).png 147件 [詳細] fileAx(BxC)+-.png 113件 [詳細]
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Last-modified: 2015.0929 (火) 0032.5300 (638d)