$$ D_ay \equiv \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) y $$ EditToHeaderToFooter

１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：

原方程式：　$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

解の公式： $$ y $$$$ = $$$$ e^{-A} $$$$ \int $$$$ e^{A} $$$$ R $$$$ dx $$　　ただし、$$ A $$$$ = $$$$ \int $$$$ a $$$$ dx $$

未知関数$$ y $$と既知関数$$ R $$に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる：

  • 原方程式は、未知関数$$ y $$に対し微分を含む操作を施すと既知関数$$ R $$が得られる
  • 解の公式は、既知関数$$ R $$に対し微分を含む操作を施すと未知関数$$ y $$が得られる

【編集中】 EditToHeaderToFooter

  • 問題： 定数係数２階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
    • 場合分けを３つ覚える羽目になる
    • $$ y $$$$ = $$$$ e^{\lambda x} $$と置きながら$$ y $$$$ = $$$$ x $$$$ e^{\lambda x} $$の解になるのが非論理的な面がある
  • 現状： １階線分常微分演算子を２回適応すれば全て解決
    • １階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
  • 依存関係：
    • ２階線形常微分方程式の基本的解法
    • ２階線形常微分演算子
    • １階線形常微分演算子×２回に変換
    • １階線形常微分演算子を定義
    • １階線形常微分演算子の逆演算子を１階線形常積分演算子として定義
    • １階線形常積分演算子×２回を適応
  • 確認事項：
    • １階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
    • ２階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
  • 展望：
    • 高階線形常微分方程式の演算子法
    • 演算子法の限界
    数学 一覧 検索 最新 バックアップ リンク元   ヘルプ   最終更新のRSS