１階線形常微分演算子 < 凌宮数学 (LimgMath)

凌宮表記術：の線形微分： $D._a \,y \equiv \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) y$

定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：

$\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ ay $$ $$ = $$ $$ R $$ 　⇔　 $$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ $$ R $$ $$ dx $$

定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
微分演算子 $$ D $$ $\equiv$ $\ddd{}{x}$ による演算子法が工学で多用される：

$$ (D+a) $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ R $$ 　⇔　 $$ y $$ $$ = $$ $(D+a)^{-1}$ $$ R $$

微分演算子 $$ D $$ を使えば、微分方程式が簡潔になり、扱いやすくなる。
しかし、上記の通り、演算子法の要は合成された微分演算子 $$ (D+a) $$ にある。
特に $(D+a)^{-1}$ を計算する際、不定積分を意味する $D^{-1}$ への変換が重要になる。

これに対し、凌宮数学では、 $$ (D+a) $$ を纏めて１つの演算子として表記する
*1：

１階線形常微分演算子：　 $$ D._a $$ $\equiv$ $\ddd{}{x}$ $$ + $$ $$ a $$

１階線形常微分方程式：　 $$ D._a $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ R $$ 　⇔　 $$ y $$ $$ = $$ $D._a^{-1}$ $$ R $$

との相互変換

指数変換演算子： $e^{ax}$

前述の通り、 $D_a^{-1}$ を計算するには、不定積分を意味する $D_{\iro[ak]{0}}^{-1}$ に変換する必要がある。
その変換方法は、解の公式から簡単に分かる。
まず、 $$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ $$ R $$ $$ dx $$
不定積分を $D._0^{-1}$ に直すと、 $$ y $$ $$ = $$ $e^{ax}$ $D._0^{-1}$ $e^{ax}$ $$ R $$ が得られる。

これと、 $$ D._a $$ で記述される解 $$ y $$ $$ = $$ $D._a^{-1}$ $$ R $$ と比較すれば、演算子の変換式が得られる：

$D._a^{-1}$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $D._0^{-1}$ $e^{ax}$

この変換式は、 $D_a^{-1}$ を $e^{-ax}$ 、 $D_0^{-1}$ 、 $e^{ax}$ の３つの演算に分解しているように扱える。
そこで、凌宮数学では、 $e^{ax}$ を指数変換演算子として表記する：

$$ E_a $$ $\equiv$ $e^{ax}$

一方で、 $e^{-ax}$ は自ずと $$ a $$ を $$ -a $$ に置換した $E_{-a}$ になる。
さらに、 $$ E_a $$ $E_{-a}$ $$ = $$ $e^{ax}$ $e^{-ax}$ $$ = $$ $$ 1 $$ であるため、と $E_{-a}$ が互いに逆演算である。

$E_a^{-1}$ $$ = $$ $E_{-a}$

指数変換演算子を使えば、複合的な演算子 $D_a^{-1}$ を３つの基本的な演算に分解できる：

$D_a^{-1}$ $$ = $$ $E_{-a}$ $D_0^{-1}$ $E_{a}$

*1 凌宮数学では演算子であることを明示するため、前置演算子と後置演算子を区別するため、演算子の作用対象側に「 $$ . $$

」を配置する。前置演算子で作用対象が判断できる場合、「 $$ . $$

」を省けば一般的な式になる。

線形微分演算子と指数変換演算子の通過則（交換則）

これまで、方程式の解に着目し、逆微分演算子 $$ D_a $$ と $$ D_0 $$ の変換式を得た。
そこで、 $(D_a^{-1})^{-1}$ $$ = $$ の関係より、正変換の変換式を作れる。

	$(D_a^{-1})^{-1}$
	$E_{-a}$ $D_0^{-1}$ $E_{a}$ $)^{-1}$	逆演算子 $D_a^{-1}$ を分解
	$(E_{a})^{-1}$ $(D_0^{-1})^{-1}$ $(E_{-a})^{-1}$	演算子は一般的に非可換のため、逆順に並ぶ
	$E_{-a}$ $E_{a}$

未知関数 $$ y $$ と既知関数 $$ R $$ に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる：

原方程式は、未知関数に対し微分を含む操作を施すと既知関数が得られる
解の公式は、既知関数に対し微分を含む操作を施すと未知関数が得られる

そうすると、上記解答は次のように見える：

$\ddd{}{x}$
	原方程式
⇔　 $e^{ax}$ $\ddd{}{x}$ $ae^{ax}$ $e^{ax}$	両辺に積分因子 $e^{ax}$ を掛ける
⇔　 $e^{ax}$ $\ddd{y}{x}$ $\ddd{(e^{ax})}{x}$ $e^{ax}$	積の微分に嵌める（不定積分を実行）
⇔　 $\ddd{(e^{ax} y)}{x}$ $e^{ax}$	１つの微分に纏める（部分積分を実行）
⇔　 $e^{ax} y$ $\int$ $e^{ax}$	積分する
⇔　 $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$	両辺に $e^{-ax}$ を掛けての式に整理

上記の解き方では、 $$ y $$ と $$ R $$ では単純な微分・積分の関係にならないため、
一旦 $$ uy $$ $$ = $$ $e^{ax} y$ と $e^{ax} R$ に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、 $$ y $$ と $$ R $$ に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：

$\ddd{y}{x}$ がからへの複雑な微分
$e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ はからへの複雑な積分
互いに逆演算

;,線形微分演算子を $\equiv$ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ と定義し、
;,線形積分演算子 $\,I_a$ を $\,I_a$ $\equiv$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ と定義すると、
;, $\iro[gy]y$ $\iro[gy]R$ ⇔ $\iro[gy]y$ $\iro[gy]R$
;,演算子として $D_a^{-1}$

【編集中】

問題：定数係数２階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
- 場合分けを３つ覚える羽目になる
- $e^{\lambda x}$ と置きながら $e^{\lambda x}$ の解になるのが非論理的な面がある
現状：１階線分常微分演算子を２回適応すれば全て解決
- １階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
依存関係：
- ２階線形常微分方程式の基本的解法
- ２階線形常微分演算子
- １階線形常微分演算子×２回に変換
- １階線形常微分演算子を定義
- １階線形常微分演算子の逆演算子を１階線形常積分演算子として定義
- １階線形常積分演算子×２回を適応
確認事項：
- １階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
- ２階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
展望：
- 高階線形常微分方程式の演算子法
- 演算子法の限界

１階線形常微分演算子

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