凌宮表記術:$$ F $$の線形微分: $$ D._a \,y \equiv \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) y $$ EditToHeaderToFooter

定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている:

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
微分演算子$$ D $$$$ \equiv $$$$ \ddd{}{x} $$による演算子法が工学で多用される:

$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ (D+a)^{-1} $$$$ R $$

微分演算子$$ D $$を使えば、微分方程式が簡潔になり、扱いやすくなる。
しかし、上記の通り、演算子法の要は合成された微分演算子$$ (D+a) $$にある。
特に$$ (D+a)^{-1} $$を計算する際、不定積分を意味する$$ D^{-1} $$への変換が重要になる。

これに対し、凌宮数学では、$$ (D+a) $$を纏めて1つの演算子として表記する
*1

1階線形常微分演算子: $$ D._a $$$$ \equiv $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$

1階線形常微分方程式: $$ D._a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ D._a^{-1} $$$$ R $$

$$ D_a $$$$ D_0 $$$$ = $$$$ D $$の相互変換 EditToHeaderToFooter

指数変換演算子: $$ E_a $$$$ = $$$$ e^{ax} $$ EditToHeaderToFooter

前述の通り、$$ D_a^{-1} $$を計算するには、不定積分を意味する$$ D_{\iro[ak]{0}}^{-1} $$に変換する必要がある。
その変換方法は、解の公式から簡単に分かる。
まず、$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$
不定積分を$$ D._0^{-1} $$に直すと、$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ D._0^{-1} $$$$ e^{ax} $$$$ R $$が得られる。

これと、$$ D._a $$で記述される解$$ y $$$$ = $$$$ D._a^{-1} $$$$ R $$と比較すれば、演算子の変換式が得られる:

$$ D._a^{-1} $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ D._0^{-1} $$$$ e^{ax} $$

この変換式は、$$ D_a^{-1} $$$$ e^{-ax} $$$$ D_0^{-1} $$$$ e^{ax} $$の3つの演算に分解しているように扱える。
そこで、凌宮数学では、$$ e^{ax} $$を指数変換演算子として表記する:

$$ E_a $$$$ \equiv $$$$ e^{ax} $$

一方で、$$ e^{-ax} $$は自ずと$$ a $$$$ -a $$に置換した$$ E_{-a} $$になる。
さらに、$$ E_a $$$$ E_{-a} $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ e^{-ax} $$$$ = $$$$ 1 $$であるため、$$ E_a $$$$ E_{-a} $$が互いに逆演算である。

$$ E_a^{-1} $$$$ = $$$$ E_{-a} $$

指数変換演算子を使えば、複合的な演算子$$ D_a^{-1} $$を3つの基本的な演算に分解できる:

$$ D_a^{-1} $$$$ = $$$$ E_{-a} $$$$ D_0^{-1} $$$$ E_{a} $$

*1 凌宮数学では演算子であることを明示するため、前置演算子と後置演算子を区別するため、演算子の作用対象側に「$$ . $$」を配置する。前置演算子で作用対象が判断できる場合、「$$ . $$」を省けば一般的な式になる。

線形微分演算子と指数変換演算子の通過則(交換則) EditToHeaderToFooter

これまで、方程式の解に着目し、逆微分演算子$$ D_a $$$$ D_0 $$の変換式を得た。
そこで、$$ (D_a^{-1})^{-1} $$$$ = $$$$ D_a $$の関係より、正変換の変換式を作れる。

$$ D_a $$

$$ (D_a^{-1})^{-1} $$

$$ = $$$$ ( $$$$ E_{-a} $$$$ D_0^{-1} $$$$ E_{a} $$$$ )^{-1} $$

逆演算子$$ D_a^{-1} $$を分解

$$ = $$$$ (E_{a})^{-1} $$$$ (D_0^{-1})^{-1} $$$$ (E_{-a})^{-1} $$

演算子は一般的に非可換のため、逆順に並ぶ

$$ = $$$$ E_{-a} $$$$ D_0 $$$$ E_{a} $$

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未知関数$$ y $$と既知関数$$ R $$に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる:

  • 原方程式は、未知関数$$ y $$に対し微分を含む操作を施すと既知関数$$ R $$が得られる
  • 解の公式は、既知関数$$ R $$に対し微分を含む操作を施すと未知関数$$ y $$が得られる

そうすると、上記解答は次のように見える:

$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

$$ D_a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

原方程式

⇔ $$ e^{ax} $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ ae^{ax} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける

⇔ $$ e^{ax} $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{(e^{ax})}{x} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

積の微分に嵌める(不定積分を実行)

⇔ $$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

1つの微分に纏める(部分積分を実行)

⇔ $$ e^{ax} y $$$$ = $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

積分する

⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理

上記の解き方では、$$ y $$$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
一旦$$ uy $$$$ = $$$$ e^{ax} y $$$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える:

  • $$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
  • $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
  • 互いに逆演算
  • ;,線形微分演算子$$ D_a $$$$ D_a $$$$ y $$$$ \equiv $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$$$ \bigg) $$と定義し、
  • ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$$$ \,I_a $$$$ R $$$$ \equiv $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$と定義すると、
  • ;,$$ D_a $$$$ \iro[gy]y $$$$ = $$$$ \iro[gy]R $$$$ \iro[gy]y $$$$ = $$$$ I_a $$$$ \iro[gy]R $$
  • ;,演算子として$$ D_a^{-1} $$$$ = $$$$ I_a $$

【編集中】 EditToHeaderToFooter

  • 問題: 定数係数2階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
    • 場合分けを3つ覚える羽目になる
    • $$ y $$$$ = $$$$ e^{\lambda x} $$と置きながら$$ y $$$$ = $$$$ x $$$$ e^{\lambda x} $$の解になるのが非論理的な面がある
  • 現状: 1階線分常微分演算子を2回適応すれば全て解決
    • 1階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
  • 依存関係:
    • 2階線形常微分方程式の基本的解法
    • 2階線形常微分演算子
    • 1階線形常微分演算子×2回に変換
    • 1階線形常微分演算子を定義
    • 1階線形常微分演算子の逆演算子を1階線形常分演算子として定義
    • 1階線形常積分演算子×2回を適応
  • 確認事項:
    • 1階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
    • 2階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
  • 展望:
    • 高階線形常微分方程式の演算子法
    • 演算子法の限界
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Last-modified: 2014.0729 (火) 1158.2900 (1060d)