１階線形常微分演算子 のバックアップ差分(No.2)

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• １階線形常微分演算子 へ行く。
  • 1 (2014.0606 (金) 0937.5200)
  • 2 (2014.0606 (金) 1246.3900)
  • 3 (2014.0609 (月) 0020.1900)
  • 4 (2014.0618 (水) 0523.3300)
  • 5 (2014.0629 (日) 0449.0500)
  • 6 (2014.0629 (日) 0558.1800)
  • 7 (2014.0629 (日) 0646.0000)
  • 8 (2014.0629 (日) 0728.2900)
  • 9 (2014.0629 (日) 2304.1100)

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* $$ D_ay \equal (\ddd{}{x} + a)y [#u0bad3c7]
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////

* $$ D_ay \equiv \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) y $$ [#u0bad3c7]

１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：
#ceq(e)
  原方程式：　$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
　解の公式：  $$ y $ = $ e^{-A} $ \int $ e^{A} $ R $ dx $$　　ただし、
#ceq(e)
  解の公式：  $$ y $ = $ e^{-A} $ \int $ e^{A} $ R $ dx $$　　ただし、$$ A $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(end)

未知関数$$ y $$と既知関数$$ R $$に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる：
- 原方程式は、未知関数$$ y $$に対し微分を含む操作を施すと既知関数$$ R $$が得られる
- 解の公式は、既知関数$$ R $$に対し微分を含む操作を施すと未知関数$$ y $$が得られる

* 【編集中】 [#wb82b5bd]
- 問題： 定数係数２階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
-- 場合分けを３つ覚える羽目になる
-- $$ y $ = $ e^{\lambda x} $$と置きながら$$ y $ = $ x $ e^{\lambda x} $$の解になるのが非論理的な面がある
- 現状： １階線分常微分演算子を２回適応すれば全て解決
-- １階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
- 依存関係： 
-- ２階線形常微分方程式の基本的解法
-- ２階線形常微分演算子
-- １階線形常微分演算子×２回に変換
-- １階線形常微分演算子を定義
-- １階線形常微分演算子の逆演算子を１階線形常''積''分演算子として定義
-- １階線形常積分演算子×２回を適応 
- 確認事項：
-- １階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
-- ２階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
- 展望：
-- 高階線形常微分方程式の演算子法
-- 演算子法の限界