1階線形常微分演算子 のバックアップの現在との差分(No.4) |
凌宮表記術:の線形微分:定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている:
定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、 微分演算子による演算子法が工学で多用される:
微分演算子を使えば、微分方程式が簡潔になり、扱いやすくなる。 しかし、上記の通り、演算子法の要は合成された微分演算子にある。 特にを計算する際、不定積分を意味するへの変換が重要になる。 これに対し、凌宮数学では、を纏めて1つの演算子として表記する *1:
との相互変換指数変換演算子:前述の通り、を計算するには、不定積分を意味するに変換する必要がある。 その変換方法は、解の公式から簡単に分かる。 まず、 不定積分をに直すと、が得られる。 これと、で記述される解と比較すれば、演算子の変換式が得られる: この変換式は、を、、の3つの演算に分解しているように扱える。 そこで、凌宮数学では、を指数変換演算子として表記する: 一方で、は自ずとをに置換したになる。 さらに、であるため、とが互いに逆演算である。 指数変換演算子を使えば、複合的な演算子を3つの基本的な演算に分解できる: 線形微分演算子と指数変換演算子の通過則(交換則)これまで、方程式の解に着目し、逆微分演算子との変換式を得た。 そこで、の関係より、正変換の変換式を作れる。
未知関数と既知関数に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる:
そうすると、上記解答は次のように見える:
上記の解き方では、とでは単純な微分・積分の関係にならないため、
【編集中】
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