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* 凌宮表記術：$$ F $$の線形微分： $$ D_a \,y \equiv \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) y $$ [#xade70b5]
* $$ D_ay \equiv \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) y $$ [#u0bad3c7]
１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：
#ceq(e)
原方程式： $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
原方程式：
#ceq(c)
$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
解の公式： $$ y $ = $ e^{-A} $ \int $ e^{A} $ R $ dx $$ ただし、$$ A $ = $ \int $ a $ dx $$
解の公式：
#ceq(c)
$$ y $ = $ e^{-A} $ \int $ e^{A} $ R $ dx $$
#ceq(a)
ただし、$$ A $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ y $ = $ e^{ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
定数係数： $$ a $ = $ a \overline{(x)} $$
#ceq(end)
;,定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
;,常微分演算子を使った演算子法が考え出されている：
#ceq(e)
微分演算子： $$ Df $ \equiv $ \ddd{f}{x} $$
#ceq(e)
原方程式： $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(e)
解の公式： $$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $$
#ceq(end)
;,微分演算子$$ D $$を使えば、微分方程式が簡潔になり、扱いやすくなる。
;,しかし、演算子法の要は合成された微分演算子$$ (D+a) $$にあると言える。
;,特に、$$ (D+a) $$と$$ D $$の関係および$$ (D+a)^{-1} $$と$$ D^{-1} $$の関係が重要になる。
;,これに対し、凌宮数学では、$$ (D+a) $$を丸ごと演算子として表記する：
#ceq(e)
１階線形常微分演算子： $$ D_a $ \equiv $ D $ + $ a $ \equiv $ \ddd{}{x} $ + $ a $$
#ceq(e)
原方程式： $$ D_a $ y $ = $ R $$
#ceq(e)
解の公式： $$ y $ = $ D_a^{-1} $ R $$
#ceq(end)
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* １階線形常微分方程式の解法の表記例 [#c3125868]
未知関数$$ y $$と既知関数$$ R $$に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる：
- 原方程式は、未知関数$$ y $$に対し微分を含む操作を施すと既知関数$$ R $$が得られる
- 解の公式は、既知関数$$ R $$に対し微分を含む操作を施すと未知関数$$ y $$が得られる
そうすると、上記解答は次のように見える：
#ceq(e)
$$ \ddd{}{x} $ + $ a $ y $ = $ R $$
#ceq(e)
$$ D_a $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
原方程式
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} $ \ddd{}{x} $ + $ ae^{ax} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^{ax})}{x} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
積の微分に嵌める（不定積分を実行）
#ceq(e)
⇔ $$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
１つの微分に纏める（部分積分を実行）
#ceq(e)
⇔ $$ e^{ax} y $ = $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
積分する
#ceq(e)
⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)
;,上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
;,一旦$$ uy $ = $ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
;,そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$と$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：
- $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$が$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
- $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$は$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
- 互いに逆演算
- ;,線形微分演算子$$ D_a $$を$$ D_a $ y $ \equiv $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ a $ \bigg) $$と定義し、
- ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $ R $ \equiv $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と定義すると、
- ;,$$ D_a $ \iro[gy]y $ = $ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y $ = $ I_a $ \iro[gy]R $$
- ;,演算子として$$ D_a^{-1} $ = $ I_a $$
* 【編集中】 [#wb82b5bd]
- 問題： 定数係数２階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
-- 場合分けを３つ覚える羽目になる
-- $$ y $ = $ e^{\lambda x} $$と置きながら$$ y $ = $ x $ e^{\lambda x} $$の解になるのが非論理的な面がある
- 現状： １階線分常微分演算子を２回適応すれば全て解決
-- １階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
- 依存関係：
-- ２階線形常微分方程式の基本的解法
-- ２階線形常微分演算子
-- １階線形常微分演算子×２回に変換
-- １階線形常微分演算子を定義
-- １階線形常微分演算子の逆演算子を１階線形常''積''分演算子として定義
-- １階線形常積分演算子×２回を適応
- 確認事項：
-- １階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
-- ２階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
- 展望：
-- 高階線形常微分方程式の演算子法
-- 演算子法の限界
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